問8

$u\colon\R^2\ni(x,t)\mapsto u(x,t)\in\R$ を $C^2$ 級の関数、 $c$ を正定数とするとき、

$$\xi=x-c t,\quad \eta=x+c t,\quad u(x,t)=v(\xi,\eta)$$

とする。すなわち

$$v(\xi,\eta):=u\left(\dfrac{\xi+\eta}{2},\frac{\eta-\xi}{2c}\right).$$

このとき

$$\frac{1}{c^2}\frac{\rd^2 u}{\rd t^2}(x,t)- \frac{\rd^2 u}{\rd x^2}(x,t)=-4\frac{\rd^2 v}{\rd\xi\rd\eta}$$

が成り立つことを示せ。

左辺から右辺を導くやり方、 右辺から左辺を導くやり方、どちらもある。

おさらい

前回、2次元の極座標変換をとりあげた。

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad u(x,y)=v(r,\theta)$$

として、

$$v_r=u_x x_r+u_y y_r.$$

ここに $x_r=\cos\theta$, $y_r=\sin\theta$ を代入して、

$$v_r=u_x\cos\theta+u_y\sin\theta.$$

こんな調子で計算できる。さらに... $\qedsymbol$

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