全微分係数の一意性

(これは時間を埋めるために -- 授業でしゃべれませんでした。)

$f$ が $a$ で全微分可能とは、

$$\exists A\in M(m,n;\R)$$   s.t.$$\quad \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)-A h}{\left\Vert h\right\Vert}=0$$

が成り立つことである。さらに「この $A$ を $f$ の $a$ における 全微分係数と呼び、 $f'(a)$ と表す」と続くのだが、 $A$ の一意性が証明されないとまずい (複数あるものを、 一つの記号で示すのはおかしい)。 それはちょっとしたクイズ・レベルの問題だが (答は自力で解こうとした人にしか教えない)、 少し後の「$f$ が $a$ で全微分可能ならば、 $f$ は $a$ で偏微分可能で、 $f'(a)=\left(\dfrac{\rd f_i}{\rd x_j}(a)\right)$.」 という定理の内容を先取りしても良い。つまり、 次のようにする。

1. $f$ が $a$ で全微分可能ということを定義する。
2. $f$ が $a$ で全微分可能ならば、$f$ は $a$ ですべての変数 $x_j$ に ついて偏微分可能で、全微分可能性の定義に出て来る行列 $A$ ( $\dsp\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)-A h}{\left\Vert h\right\Vert}=0$ を 満たす行列 $A$) は、 ヤコビ行列 $\left(\dfrac{\rd f_i}{\rd x_j}(a)\right)$ に等しい、 という定理を述べる (証明は同じ！)。
3. $f$ が $a$ で全微分可能であるとき、 $f'(a):=\left(\dfrac{\rd f_i}{\rd x_j}(a)\right)$ とおき、 $f$ の $a$ における全微分係数と呼ぶ、と定義し、 $\dsp\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)-f'(a)h}{\left\Vert h\right\Vert}=0$ となることを注意しておく。

こうすると、 「全微分可能性」と「全微分係数」の定義が離れるのがタマにキズ。