開集合、閉集合復習

$\begin{jdefinition}[開球、閉球] $a\in\R^n$, $r>0$\ に対して、 \begin{displaymat... ...ight\} \end{displaymath}を $a$\ 中心、半径 $r$\ の閉球とよぶ。 \end{jdefinition}$

$\begin{jdefinition}[開集合, 閉集合] $A\subset \R^n$\ とする。 \begin{enumerate}... ...minus A$\ が $\R^n$\ の開集合であることをいう。 \end{enumerate}\end{jdefinition}$

次の命題は便利である。

$\begin{jproposition}[とても便利: 連続関数による逆像の開集合、閉集合の判定] $f\c... ...n\R^n; f(x)=c\}$\ は $\R^n$\ の閉集合である。 \end{enumerate}\end{jproposition}$

この命題の証明は次回にまわす。これを使って次の有名かつ重要な命題を証明する。

$\begin{jproposition} (1) $\R^n$\ の開球は開集合である。 (2) $\R^n$\ の閉球は閉集合である。 \end{jproposition}$

Proof.

(1)

$a\in\R^n$ ,

とするとき、

$\displaystyle B(a;r)=\{x\in\R^n; \left\Vert x-a\right\Vert<r\}$

は、 $f\colon\R^2\ni(x,y)\mapsto\left\Vert x-a\right\Vert^2 =\dsp \sum_{j=1}^n\left(x_j-a_j\right)^2 \in\R$ (これは多項式関数だから連続) を用いて、

$\displaystyle B(a;r)=\{x\in\R^n; f(x)<r^2\}$

と表されるので、開球

は $\R^n$ の開集合である。

(2)

同様に

$\displaystyle \overline B(a;r) =\left\{x\in\R^n; \Vert x-a\Vert\le r\right\} =\{x\in\R^n; f(x)\le r^2\}$

であるから、閉球

は $\R^n$ の閉集合である。 $\qedsymbol$

ARRAY(0xf673b4) $\qedsymbol$