定理の証明

( $\Leftarrow$) 任意の $i\in\{1,\dots,m\}$ に対して、 $\left\vert f_i(x)-A_i\right\vert\le\left\Vert\vec f(x)-\vec A\right\Vert$ であるから、 $\dsp\lim_{x\to a}\vec f(x)=A$ であれば、 $\dsp\lim_{x\to a}f_i(x)=A_i$.

( $\Rightarrow$) $\forall\eps>0$ に対して、 $\exists\delta_1,\dots,\delta_m>0$ s.t.

$$\left\vert x-a\right\vert\le\delta_i\quad\Then\quad \left\vert f_i(x)-A_i\right\vert<\sum_{j=1}^m\frac{\eps}{m}=\frac{\eps}{m}.$$

$\delta:=\min\{\delta_1,\dots,\delta_m\}$ とおくと、$\delta>0$ で、 $\left\vert x-a\right\vert<\delta$ であれば、 $\left\vert f_i(x)-A_i\right\vert<\dfrac{\eps}{m}$ ( $i=1,\dots,m$) であるから、

$$\left\Vert\vec f(x)-\vec A\right\Vert \le\sum_{j=1}^m\left\vert f_j(x)-A_j\right\vert<\eps.\qed$$

この定理から、以下のような系が得られる。

$\vec f$ が $a$ (あるいは $I$) で連続であるための必要十分条件は、 $\forall i\in\{1,\dots,m\}$ に対して、 $f_i$ が $a$ (あるいは $I$) で連続なことである。

$\vec f$ が $a$ (あるいは $I$) で微分可能であるための必要十分条件は、 $\forall i\in\{1,\dots,m\}$ に対して、 $f_i$ が $a$ (あるいは $I$) で微分可能なことである。 また $\vec f'(a)=\begin{pmatrix}f_1'(a)\\ \vdots\\ f_m'(a)\end{pmatrix}$.