A. Cassini の橙形

$x y$ 平面上で、 方程式

$$\left[(x-1)^2+y^2\right] \left[(x+1)^2+y^2\right]=a^4 \mbox{($a$ は正の定数)}$$ (☆)

で定められる曲線を $\mathrm{C}$ とするとき、以下の問に答えよ。

(1)

式 (☆) を $y^2$ について解いて、$y^2=f(x)$ の形に表わせ。

(2)

$0<a<\sqrt{2}$ であるとき、関数 $f(x)$ の増減を調べよ。

(3)

$1<a<\sqrt{2}$ であるときの曲線 $\mathrm{C}$ の概形を描け。

(二定点からの距離の積が一定である曲線で、 Cassini の橙形と呼ばれているもの。)

(1)

$y^2=Y$ とおくと、(☆) は

$$Y^2+\left[(x-1)^2+(x+1)^2\right]Y +(x+1)^2(x-1)^2=a^4$$

となる。整理して、

$$Y^2+2(x^2+1)Y+(x^2-1)^2-a^4=0.$$

$2$ 次方程式の解の公式から

$$Y=-(x^2+1)\pm \sqrt{(x^2+1)^2-\left[(x^2-1)^2-a^4\right]} =-(x^2+1)\pm\sqrt{4x^2+a^4}.$$

$Y=y^2\ge 0$ でなければならないので、複号のうち $-$ は捨てて

$$y^2=-(x^2+1)+\sqrt{4x^2+a^4}.$$

(2)

$f(x)=-(x^2+1)+\sqrt{4x^2+a^4}$ とおくと、

$$f'(x)=-2x+\frac{1}{2}\cdot\frac{8x}{\sqrt{4x^2+a^4}} =\frac{2x\left(2-\sqrt{4x^2+a^4}\right)}{\sqrt{4x^2+a^4}}.$$

ゆえに $f'(x)=0$ となるのは、 $x=0$ または $\sqrt{4x^2+a^4}=2$ のときである。

$$\sqrt{4x^2+a^4}=2 \quad\Iff\quad 4x^2+a^4=4 \quad\Iff\quad x^2=\frac{4-a^4}{4} \quad\Iff\quad x=\pm\frac{\sqrt{4-a^4}}{2}.$$

仮定 $a<\sqrt{2}$ より $4-a^4>0$ であるので、 $\pm\sqrt{4-a^4}/2$ は相異なる実数であることに注意する。 これから関数 $f(x)$ の増減表は

$x$	$-\infty$		$-\dfrac{\sqrt{4-a^2}}2$		0		$\dfrac{\sqrt{4-a^4}}2$		$\infty$
$f'(x)$		$+$	0	$-$	0	$+$	0	$-$
$f(x)$	$-\infty$		$2+a^4/4$		$a^2-1$		$2+a^4/4$		$-\infty$

$y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸との交点を 調べる。

$$f(x)=0 \Iff x^2+1=\sqrt{4x^2+a^4} \quad\Iff\quad x^4+2x^2+1=4x^2+a^4$$

$$\Iff x^4-2x^2+(1-a^4)=0$$

$$\Iff x^2=1\pm\sqrt{1-(1-a^4)} =1\pm\sqrt{a^4} =1\pm a^2.$$

これから

(i)

$0<a<1$ のとき、$f(x)=0$ となるのは $x=\pm\sqrt{1+a^2}$, $\pm\sqrt{1-a^2}$. そして $f(x)\ge 0$ となるのは、 $-\sqrt{1+a^2}\le x\le-\sqrt{1-a^2}$ または $\sqrt{1-a^2}\le x\le \sqrt{1+a^2}$.

(ii)

$a=1$ のとき、$f(x)=0$ となるのは、$x=0$, $\pm\sqrt{1+a^2}$. そして $f(x)\ge 0$ となるのは、 $-\sqrt{1+a^2}\le x\le \sqrt{1+a^2}$.

(iii)

$1<a<\sqrt{2}$ のとき、$f(x)=0$ となるのは $x=\pm\sqrt{1+a^2}$. そして $f(x)\ge 0$ となるのは、 $-\sqrt{1+a^2}\le x\le \sqrt{1+a^2}$. (参考: $a=1.2$ の場合のグラフ)

(3)

$-\sqrt{1+a^2}\le x\le \sqrt{1+a^2}$, $-\sqrt{2+a^4/4}\le y\le \sqrt{2+a^4/4}$ の 範囲に存在する。$y$ 軸との交点は $(0,\pm\sqrt{a^2-1})$.