6.1 Cassini の橙形

2定点からの距離の積が一定である点の 軌跡は Cassini の橙形 (Cassini の卵形線, Cassini oval, oval of Cassini) である。 Giovanni Domenico Cassini (1625-1712) にちなんで名付けられた。

ちょっと整理

平面上の $2$ 定点からの距離の和、差、積、 商が一定である点の軌跡を求める問題は有名である。

• 和が一定 … 楕円
• 差が一定 … 双曲線
• 積が一定 … Cassini の橙形
• 商 (比) が一定 … Apollonius¹ の 円 (特別な場合として垂直二等分線)

二定点を $(\pm a,0)$ として、距離の積を $b^2$ とすると、

$$\left[(x-a)^2+y^2\right]\left[(x+a)^2+y^2\right]=b^4$$

という方程式が得られる。

$$(x^2+y^2+a^2)^2=4a^2x^2+b^4.$$

極形式では

$$r^4-2a^2r^2\cos2\theta+a^4=b^4.$$

$b$ が小さく、$b<a$ ならば二つの連結成分からなり、 $a\le b$ ならば連結な曲線である。

$b=a$ ならば、 $(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)$ となるので、 $a':=\sqrt{2}a$ とおくと

$$(x^2+y^2)^2=a'^2(x^2-y^2)$$

となる。 これはベルヌーイのレムニスケート (lemniscate of Bernoulli) と呼ばれ、 8の字形をしている。

$b>a$ ならば正則な閉曲線である。 特に $a<b<\sqrt{2}a$ ならば凹みのある閉曲線、 $b\ge \sqrt{2}a$ ならば凸閉曲線である。

図 3: Cassini の oval ($a=2$, $b=2.1$)

    

図 4: Cassini の oval ($a=2$, $b=3$)

2変数関数のレベルセットを描きたい場合、 Mathematica では、ImplicitPlot[] が利用できる。

Decartes の葉線, レムニスケート, Cassini の橙形を描く

  Needs["Graphics`ImplicitPlot`"]  (最初にこのオマジナイが必要)

  decartes[a_]:=ImplicitPlot[x^3+y^3-3 a x y==0,{x,-4,4},{y,-4,4}]
  lemniscate[a_]:=ImplicitPlot[(x^2+y^2)^2==a^2(x^2-y^2),{x,-4,4},{y,-4,4}]
  limason[a_,b_]:=ImplicitPlot[(x^2+y^2-a x)^2==b^2(x^2+y^2),{x,-4,4},{y,-4,4}]
  cassini[a_,b_]:=ImplicitPlot[(x^2+y^2+a^2)^2==4a^2x^2+b^4,{x,-4,4},{y,-4,4}]

  g=lemniscate[4]                  (a=4 のレムニスケートを描く)
  SetDirectory[$HomeDirectory <> "\My Documents"]]
  Export["lemniscate.eps", g]

なお、ここでは $x$, $y$ 両方の範囲を指定したが、 こうすると内部で ContourPlot[] を利用して等高線を描画する。 これに対して、 $x$ または $y$ の一方のみの範囲を指定すると、 Solve[] を利用して曲線を描画する。 この方が処理は重いが、結果はきれいになる (そうである)。