行列 が疎行列であっても、その逆行列 は疎行列とは限らない。 しかし と LU 分解したときの11、, は疎行列である。
このことを 重対角行列
mathpc% octave GNU Octave, version 2.0.16 (i386-unknown-freebsd3.4). Copyright (C) 1996, 1997, 1998, 1999, 2000 John W. Eaton. This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY. For details, type `warranty'. octave:1> n=5 n = 5 octave:2> ones(n-1,1) ans = 1 1 1 1 octave:3> J=diag(ones(n-1,1),1) J = 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 octave:4> J+J' ans = 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 octave:5> a=2*eye(n,n)-J-J' a = 2 -1 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 -1 2 octave:6> inv(a) ans = 0.83333 0.66667 0.50000 0.33333 0.16667 0.66667 1.33333 1.00000 0.66667 0.33333 0.50000 1.00000 1.50000 1.00000 0.50000 0.33333 0.66667 1.00000 1.33333 0.66667 0.16667 0.33333 0.50000 0.66667 0.83333 octave:7> [L U P]=lu(a) L = 1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -0.50000 1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -0.66667 1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -0.75000 1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -0.80000 1.00000 U = 2.00000 -1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.50000 -1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.33333 -1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.25000 -1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.20000 P = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 octave:8> U\(L\P) あるいは inv(U)*inv(L)*P ans = 0.83333 0.66667 0.50000 0.33333 0.16667 0.66667 1.33333 1.00000 0.66667 0.33333 0.50000 1.00000 1.50000 1.00000 0.50000 0.33333 0.66667 1.00000 1.33333 0.66667 0.16667 0.33333 0.50000 0.66667 0.83333 octave:9> n=8;J=diag(ones(n-1,1),1);a=2*eye(n,n)-J-J';[L U P]=lu(a);inv(a) ans = 0.88889 0.77778 0.66667 0.55556 0.44444 0.33333 0.22222 0.11111 0.77778 1.55556 1.33333 1.11111 0.88889 0.66667 0.44444 0.22222 0.66667 1.33333 2.00000 1.66667 1.33333 1.00000 0.66667 0.33333 0.55556 1.11111 1.66667 2.22222 1.77778 1.33333 0.88889 0.44444 0.44444 0.88889 1.33333 1.77778 2.22222 1.66667 1.11111 0.55556 0.33333 0.66667 1.00000 1.33333 1.66667 2.00000 1.33333 0.66667 0.22222 0.44444 0.66667 0.88889 1.11111 1.33333 1.55556 0.77778 0.11111 0.22222 0.33333 0.44444 0.55556 0.66667 0.77778 0.88889 octave:10> U\(L\P) あるいは inv(U)*inv(L)*P ans = 0.88889 0.77778 0.66667 0.55556 0.44444 0.33333 0.22222 0.11111 0.77778 1.55556 1.33333 1.11111 0.88889 0.66667 0.44444 0.22222 0.66667 1.33333 2.00000 1.66667 1.33333 1.00000 0.66667 0.33333 0.55556 1.11111 1.66667 2.22222 1.77778 1.33333 0.88889 0.44444 0.44444 0.88889 1.33333 1.77778 2.22222 1.66667 1.11111 0.55556 0.33333 0.66667 1.00000 1.33333 1.66667 2.00000 1.33333 0.66667 0.22222 0.44444 0.66667 0.88889 1.11111 1.33333 1.55556 0.77778 0.11111 0.22222 0.33333 0.44444 0.55556 0.66667 0.77778 0.88889 octave:11> quit mathpc%