2.3 解説

• main() を読むと分かるように、最初に
  • nnode 総節点数
  • nelmt 総要素数
  • nbc ディリクレ境界にある接点の個数 ($1$ または $2$)
  • x[] 節点の座標
  • ibc ディリクレ境界にある接点の節点番号
  を決めている。
• 連立1次方程式を構成するのは、関数 assem() で行っている。 作業内容は 3 つに分かれる。
  1. am, fm を 0 クリアする。
  2. すべての有限要素について、要素係数行列 ae, 要素自由ベクトル fe を計算して、 それぞれ全体行列 am、全体自由ベクトル fm に算入する。
  3. ディリクレ境界上にある節点に対応する部分を修正する。
• ecm() で必要となる事項の復習。 $e_i=[x_{i-1},x_i]$ とすると、
  $$A_{e_i} =\frac{1}{x_{i}-x_{i-1}} \left( \begin{array}{rr} 1 & -1 ... ...i}= \left( \begin{array}{c} (f,L_0)_{e_i} \\ (f,L_1)_{e_i} \end{array}\right)$$
  であったが、$f$ は
  $$f(x)\kinji f(x_{i-1})L_0(x)+f(x_i)L_1(x)$$   $$\mbox{($x\in e_i$)}$$
  と $1$ 次近似することにすれば、
  $$(f,L_j)_{e_i} \kinji(f(x_{i-1})L_0+f(x_i)L_1,L_j)_{e_i} =f(x_{i-1})(L_0,L_j)_{e_i}+f(x_{i})(L_1,L_j)_{e_i}.$$
  ここで
  

  $$(L_0,L_0)_{e_i} = (L_1,L_1)_{e_i} =(x_i-x_{i-1})\int_0^1 x^2 \,\Dx =\frac{x_i-x_{i-1}}{3},$$

  $$(L_0,L_1)_{e_i} = (L_1,L_0)_{e_i} =(x_i-x_{i-1})\int_0^1 x(1-x) \,\Dx =\frac{x_i-x_{i-1}}{6}$$

  
  であるから、
  $$f_{e_i}\kinji \frac{x_i-x_{i-1}}{6} \left( \begin{array}{c} 2f(x_{i-1})+f(x_i)\\ f(x_{i-1})+2f(x_i) \end{array}\right).$$