2 「代数方程式」の課題

次のうちから少なくとも一つを選んでレポートせよ。

(1)

Kantorovich の定理をレポートせよ¹。 定理を述べ、その証明を理解した上で自分の言葉で書く。

(2)

DK 法が「根と係数の関係」を方程式とみなして Newton 法を適用したもので あることを示せ。(単に導関数の計算をするだけなので自力でも可能かもしれな いが、もちろん本を見ても良い。)

(3)

プログラム DK3 (必要ならば適当な修正を施して) で実験せよ。

• 自分でいくつかの多項式 (単根しか持たない場合、重根を持つ場合、実根し か持たない場合等々、適当に選べ) を選んで実験せよ。収束の速さ、 最終的に得られる根の精度はどうなるか。 (精度については、 真の解が分かっている問題を解いて誤差を測るなどの工夫をする。)
• 初期値を配置する円盤を小さく取ってしまう (根がその円盤の外にはみ出す) とどうなるか、実験せよ。

(4)

初期値を配置する円盤の半径 $r_0$ を付録『根の大きさの限界』で 説明する方法で求めるプログラムを作成して実験し、その方法の有効性を 評価せよ。

(5)

虚根を持つ実係数多項式について、 初期値を (根の重心を中心とする円周上に一様に配置するのではなく) すべて 実数に選んだ場合に、DK 法の反復で何が起こるか、実験せよ。

(6)

Smith の定理を用いて近似解の誤差評価をする (誤差の上界を見積もる) プ ログラムを作って実験せよ。 (もし可能ならば、区間演算や丸めモードの制御を行って、厳密に精度保証を するようなプログラムを作れ -- もしここまで出来たら、このレポート一本だけで この講義「優」をつけます。)

(7)

有名な Cardano の方法で、 $3$ 次方程式を解くプログラムを作成して実験せよ。