0.0.0.1 問

教科書 p.154 5.5 問2を解け。

基本線は演習 No.5 と同じで、 与えられた微分方程式の特性方程式を作って、 それを解き、 根の判別をして (重根、実根、虚根？)、 pp.153-154 の説明に従って一般解を書き下すだけである。

微分方程式の階数が $3$, $4$ なので、 特性方程式が $3$, $4$ 次方程式になるが、 高校数学の範囲 (代入して成り立つかどうかで解を探して、 因数定理を使って…) で解けるようなものにしてあるので大丈夫のはず。

上で「pp.153-154 の説明」と書いたが、少し違ったまとめ方をしてみよう (これは 12月13日の授業で喋った)。 最初の要点は、

$\alpha$ が特性方程式の $k$ 重根ならば (重根でない根の場合は $k=1$ とする)、 一般解の式に $C_1 e^{\alpha x}+C_2 x e^{\alpha x}+C_3 x^2 e^{\alpha x}\cdots+ C_k x^{k-1} e^{\alpha x}$ というものが現れる。

というものである。 虚数の指数関数を使っても構わないならば、これでOK, となる (教科書の p.154 の上半分に書いてあること)。

$\alpha$ が虚数で、 「虚数の指数関数を使わないで書こう」という場合は、もう一仕事必要になる。

まず

実係数の方程式では、 $\alpha=a+ib$ ($a$, $b$ は実数, $b\ne 0$) がちょうど $k$ 重根ならば、 $\overline{\alpha}=a-ib$ ($a$, $b$ は実数, $b\ne 0$) もちょうど $k$ 重根 である

ということに注意する。

そして次の事実が重要である。

☆

$$\{C_1 e^{(a+ib)x}+C_2 e^{(a-ib)x}; C_1,C_2\in\C\} = \{A e^{ax}\cos bx+B e^{ax}\sin bx; A,B\in\C\}.$$

(ここで $\C$ は複素数全体の集合を表す。)

例えば $\alpha=1+2i$ がちょうど $2$ 重根である場合、 $\overline{\alpha}=1-2i$ もちょうど $2$ 重根なので これら4つの根に対応して、一般解の式には

$$C_1 e^{(1+2i)x}+C_2 x e^{(1+2i)x} +C_3 e^{(1-2i)x}+C_4 x e^{(1-2i)x}$$   $$\mbox{($C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$\ は任意定数)}$$

というのが現れることが分かる。

ここで上に述べた事実☆を使うと、 $C_1 e^{(1+2i)x}+C_3 e^{(1-2i)x}$ は $A e^x\cos 2x +B e^{x}\sin 2x$ に (ただし $A$, $B$ は任意定数)、 $C_2 x e^{(1+2i)x}+C_4 x e^{(1-2i)x} =x\left(C_2 e^{(1+2i)x}+C_4 e^{(1-2i)x}\right)$ は、 $x(D e^x\cos 2x+E e^{x}\sin 2x)$ に (ただし $D$, $E$ は任意定数) に書き換えられることが分かる。まとめると

$$C_1 e^{(1+2i)x}+C_2 x e^{(1+2i)x} +C_3 e^{(1-2i)x}+C_4 x e^{(1-2i)x} = A e^x\cos 2x+B e^{x}\sin 2x+x(D e^x\cos 2x+E e^{x}\sin 2x).$$