0.0.0.1 問

教科書 p.154 5.5 問1を解け。

基本的に、 与えられた微分方程式の特性方程式を作って (これは2次方程式になる)、 それを解き、 根の判別をして (重根、実根、虚根？)、 p.152 の「まとめ」に従って一般解を書き下すだけである。 教科書の問でもあるので、詳しい解答は省略する。

問の (4) は一番面倒なので説明しておく (本当は (7), (8) の後に配置すべき問題かもしれない)。

$y''+ay'+k^2 y=0$ の特性方程式は $\lambda^2+a\lambda+k^2=0$ で、 特性根は

$$\lambda=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4k^2}}{2}.$$

文字式なので、重根かそうでないかは、場合分けしないと定まらない。 $a^2-4k^2=0$ のときは重根 $\lambda=-\dfrac{a}{2}$ なので、 (微分方程式の)一般解は

$$y=C_1 e^{-ax/2}+C_2 x e^{-ax/2}.$$

$a^2-4k^2\ne 0$ のときは重根でないので、 一般解は

$$y=C_1 \exp\left(\dfrac{-a+\sqrt{a^2-4k^2}}{2}x\right) +C_2 \exp\left(\dfrac{-a-\sqrt{a^2-4k^2}}{2}x\right).$$

本当は $a^2-4k^2<0$ の場合は、 $\cos$, $\sin$ を使って

$$y=C_1 e^{-ax/2}\cos\frac{\sqrt{4k^2-a^2}}{2}x +C_2 e^{-ax/2}\sin\frac{\sqrt{4k^2-a^2}}{2}x.$$

と書く方が良いかも知れないが、教科書の解答はさぼってある。 まあ、問題の方にも「虚数の指数関数は使わないで」という断り書きはないし。