next up previous
Next: 0.0.0.1 教科書の 5.3 節の問の解答訂正

微分方程式 演習 No.4 (2007年11月8日出題) 11/15 解説

教科書 p.138 5.3 問1の (2), (5), (8), (11), (14) を解け。

(2) まず $ y'+a y=0$ を解く。 $ \dfrac{\D y}{\D x}=-a y$. これから $ \dsp\int\frac{\D y}{y}=-\int a\;\D x$. 積分を実行して、 $ \log\vert y\vert=-a x+C$ ($ C$ は積分定数). ゆえに $ \vert y\vert=e^{-ax+C}$. 絶対値を外して $ y=\pm e^Ce^{-ax}$. $ \pm e^C$ を新しく $ C$ と書き直して $ y=C e^{-ax}$ ($ C$ は任意定数).

$ y=C(x)e^{-ax}$ とおくと、

$\displaystyle \begin{array}{llll}
& y'&=C'(x)e^{-ax}-&a C(x)e^{-ax} \\
+)& ay &= &a C(x)e^{-ax} \\
\hline
&y'+ay&=C'(x)e^{-ax}
\end{array}$

$ y'+ay=b$ であるから、 $ C'(x)e^{-ax}=b$. ゆえに $ C'(x)=b e^{ax}$. 積分して

$\displaystyle C(x)=\int b e^{ax}\;\Dx=\frac{b}{a}e^{ax}+C.
$

ゆえに

$\displaystyle y=C(x)e^{-ax}=\left(\frac{b}{a}e^{ax}+C\right)e^{-ax}=\frac{b}{a}+C e^{-ax}.
$

(5) まず $ y'-y\tan x=0$ を解く。 $ \dfrac{\D y}{\D x}=y\tan x$. これから $ \dsp\int\frac{\D y}{y}=\int \tan x\;\D x$. 積分を実行して、 $ \log\vert y\vert=-\log\vert\cos x\vert+\log C$ ($ \log C$ は積分定数). 移項して $ \log\vert y\cos x\vert=\log C$. ゆえに $ \vert y\cos x\vert=C$. 絶対値を外して $ y=\pm\dfrac{C}{\cos x}$. $ \pm C$ を新しく $ C$ と書き直して $ y=\dfrac{C}{\cos x}$ ($ C$ は任意定数).

$ y=\dfrac{C(x)}{\cos x}$ とおくと、

$\displaystyle \begin{array}{llll}
& y'&=C'(x)\dfrac{1}{\cos x}+&C(x)\dfrac{-(-\...
...sin x}{\cos^2 x} \\ [1ex]
\hline
&y'-y\tan x&=\dfrac{C'(x)}{\cos x}
\end{array}$

$ y'-y\tan x=\sin x$ であるから、 $ C'(x)\dfrac{1}{\cos x}=\sin x$. ゆえに $ C'(x)=\sin x\cos x$. 積分して

$\displaystyle C(x)=\int \sin x\cos x\;\Dx=-\frac{1}{2}\cos^2 x+C.
$

ゆえに

$\displaystyle y=\frac{C(x)}{\cos x}
=\frac{-\dfrac{1}{2}\cos^2 x+C}{\cos x}
=-\frac{1}{2}\cos x+\frac{C}{\cos x}.
$

(8) まず $ x y'+y=0$ を解く。 $ x\dfrac{\D y}{\D x}=-y$. これから $ \dsp\int\frac{\D y}{y}=-\int\dfrac{\Dx}{x}$. 積分を実行して、 $ \log\vert y\vert=-\log\vert x\vert+\log C$ ($ \log C$ は積分定数). 移項して $ \log\vert x y\vert=\log C$. ゆえに $ \vert x y\vert=C$. 絶対値を外して $ y=\pm\dfrac{C}{x}$. $ \pm C$ を新しく $ C$ と書き直して $ y=\dfrac{C}{x}$ ($ C$ は任意定数).

$ y=\dfrac{C(x)}{x}$ とおくと、

$\displaystyle \begin{array}{llll}
& y'&=C'(x)\dfrac{1}{x}+&C(x)\dfrac{-1}{x^2} ...
...frac{C(x)}{x^2} \\ [1ex]
\hline
&y'+\dfrac{1}{x}y&=\dfrac{C'(x)}{x}
\end{array}$

$ y'+\dfrac{1}{x}y=\log x$ であるから、 $ \dfrac{C'(x)}{x}=\log x$. ゆえに $ C'(x)=x\log x$. 積分して

$\displaystyle C(x)=\int x\log x\;\Dx=\frac{x^2}{2}\log x-\int
\frac{x^2}{2}\cdo...
...
=\frac{x^2}{2}\log x-\int\frac{x}{2}\Dx
=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}+C.
$

ゆえに

$\displaystyle y=\frac{C(x)}{x}=\frac{x}{2}\log x-\frac{x}{4}+\frac{C}{x}.
$

(11) まず $ y'-x y=0$ を解く。 $ \dfrac{\D y}{\D x}=x y$. これから $ \dsp\int\frac{\D y}{y}=\int x\;\Dx$. 積分を実行して、 $ \log\vert y\vert=\dfrac{x^2}{2}+C$ ($ C$ は積分定数). ゆえに $ \vert y\vert=e^{x^2/2+C}$. 絶対値を外して $ y=\pm e^{C}e^{x^2/2}$. $ \pm e^C$ を新しく $ C$ と書き直して $ y=C e^{x^2/2}$ ($ C$ は任意定数).

$ y=C(x)e^{x^2/2}$ とおくと、

$\displaystyle \begin{array}{llll}
& y'&=C'(x)e^{x^2/2}+&x C(x)e^{x^2/2} \\
-)& xy&= &x C(x) e^{x^2/2} \\ [1ex]
\hline
&y'-x y&=C'(x)e^{x^2/2}
\end{array}$

$ y'-x y=x$ であるから、 $ C'(x)e^{x^2/2}=x$. ゆえに $ C'(x)=x e^{-x^2/2}$. 積分して

$\displaystyle C(x)=\int x e^{-x^2/2}\;\Dx =-e^{-x^2/2}+C.
$

ゆえに

$\displaystyle y=C(x)e^{x^2/2}
=\left(-e^{-x^2/2}+C\right)e^{x^2/2}
=C e^{x^2/2}-1.
$




next up previous
Next: 0.0.0.1 教科書の 5.3 節の問の解答訂正
Masashi Katsurada
平成19年11月15日