微分方程式 演習 No.4 (2007年11月8日出題) 11/15 解説

教科書 p.138 5.3 問1の (2), (5), (8), (11), (14) を解け。

(2) まず $y'+a y=0$ を解く。 $\dfrac{\D y}{\D x}=-a y$. これから $\dsp\int\frac{\D y}{y}=-\int a\;\D x$. 積分を実行して、 $\log\vert y\vert=-a x+C$ ($C$ は積分定数). ゆえに $\vert y\vert=e^{-ax+C}$. 絶対値を外して $y=\pm e^Ce^{-ax}$. $\pm e^C$ を新しく $C$ と書き直して $y=C e^{-ax}$ ($C$ は任意定数).

$y=C(x)e^{-ax}$ とおくと、

$$\begin{array}{llll} & y'&=C'(x)e^{-ax}-&a C(x)e^{-ax} \\ +)& ay &= &a C(x)e^{-ax} \\ \hline &y'+ay&=C'(x)e^{-ax} \end{array}$$

$y'+ay=b$ であるから、 $C'(x)e^{-ax}=b$. ゆえに $C'(x)=b e^{ax}$. 積分して

$$C(x)=\int b e^{ax}\;\Dx=\frac{b}{a}e^{ax}+C.$$

ゆえに

$$y=C(x)e^{-ax}=\left(\frac{b}{a}e^{ax}+C\right)e^{-ax}=\frac{b}{a}+C e^{-ax}.$$

(5) まず $y'-y\tan x=0$ を解く。 $\dfrac{\D y}{\D x}=y\tan x$. これから $\dsp\int\frac{\D y}{y}=\int \tan x\;\D x$. 積分を実行して、 $\log\vert y\vert=-\log\vert\cos x\vert+\log C$ ($\log C$ は積分定数). 移項して $\log\vert y\cos x\vert=\log C$. ゆえに $\vert y\cos x\vert=C$. 絶対値を外して $y=\pm\dfrac{C}{\cos x}$. $\pm C$ を新しく $C$ と書き直して $y=\dfrac{C}{\cos x}$ ($C$ は任意定数).

$y=\dfrac{C(x)}{\cos x}$ とおくと、

$$\begin{array}{llll} & y'&=C'(x)\dfrac{1}{\cos x}+&C(x)\dfrac{-(-\... ...sin x}{\cos^2 x} \\ [1ex] \hline &y'-y\tan x&=\dfrac{C'(x)}{\cos x} \end{array}$$

$y'-y\tan x=\sin x$ であるから、 $C'(x)\dfrac{1}{\cos x}=\sin x$. ゆえに $C'(x)=\sin x\cos x$. 積分して

$$C(x)=\int \sin x\cos x\;\Dx=-\frac{1}{2}\cos^2 x+C.$$

ゆえに

$$y=\frac{C(x)}{\cos x} =\frac{-\dfrac{1}{2}\cos^2 x+C}{\cos x} =-\frac{1}{2}\cos x+\frac{C}{\cos x}.$$

(8) まず $x y'+y=0$ を解く。 $x\dfrac{\D y}{\D x}=-y$. これから $\dsp\int\frac{\D y}{y}=-\int\dfrac{\Dx}{x}$. 積分を実行して、 $\log\vert y\vert=-\log\vert x\vert+\log C$ ($\log C$ は積分定数). 移項して $\log\vert x y\vert=\log C$. ゆえに $\vert x y\vert=C$. 絶対値を外して $y=\pm\dfrac{C}{x}$. $\pm C$ を新しく $C$ と書き直して $y=\dfrac{C}{x}$ ($C$ は任意定数).

$y=\dfrac{C(x)}{x}$ とおくと、

$$\begin{array}{llll} & y'&=C'(x)\dfrac{1}{x}+&C(x)\dfrac{-1}{x^2} ... ...frac{C(x)}{x^2} \\ [1ex] \hline &y'+\dfrac{1}{x}y&=\dfrac{C'(x)}{x} \end{array}$$

$y'+\dfrac{1}{x}y=\log x$ であるから、 $\dfrac{C'(x)}{x}=\log x$. ゆえに $C'(x)=x\log x$. 積分して

$$C(x)=\int x\log x\;\Dx=\frac{x^2}{2}\log x-\int \frac{x^2}{2}\cdo... ... =\frac{x^2}{2}\log x-\int\frac{x}{2}\Dx =\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}+C.$$

ゆえに

$$y=\frac{C(x)}{x}=\frac{x}{2}\log x-\frac{x}{4}+\frac{C}{x}.$$

(11) まず $y'-x y=0$ を解く。 $\dfrac{\D y}{\D x}=x y$. これから $\dsp\int\frac{\D y}{y}=\int x\;\Dx$. 積分を実行して、 $\log\vert y\vert=\dfrac{x^2}{2}+C$ ($C$ は積分定数). ゆえに $\vert y\vert=e^{x^2/2+C}$. 絶対値を外して $y=\pm e^{C}e^{x^2/2}$. $\pm e^C$ を新しく $C$ と書き直して $y=C e^{x^2/2}$ ($C$ は任意定数).

$y=C(x)e^{x^2/2}$ とおくと、

$$\begin{array}{llll} & y'&=C'(x)e^{x^2/2}+&x C(x)e^{x^2/2} \\ -)& xy&= &x C(x) e^{x^2/2} \\ [1ex] \hline &y'-x y&=C'(x)e^{x^2/2} \end{array}$$

$y'-x y=x$ であるから、 $C'(x)e^{x^2/2}=x$. ゆえに $C'(x)=x e^{-x^2/2}$. 積分して

$$C(x)=\int x e^{-x^2/2}\;\Dx =-e^{-x^2/2}+C.$$

ゆえに

$$y=C(x)e^{x^2/2} =\left(-e^{-x^2/2}+C\right)e^{x^2/2} =C e^{x^2/2}-1.$$