微分方程式 演習 No.3 (2007年10月25日出題) 11/8 解説

教科書 p.132 問1の (1), (4), (7), (10), (13) を解け。

(1) $y'+\dfrac{1}{x}y=0$ より、 $\dfrac{\D y}{\D x}=-\dfrac{y}{x}$. これから $\dsp\int\frac{\D y}{y}=-\int\frac{\D x}{x}$. 積分を実行して、 $\log\vert y\vert=-\log\vert x\vert+\log C$ ($\log C$ は積分定数). 移項して $\log\vert x y\vert=\log C$. ゆえに $\vert xy\vert=C$. 絶対値を外して $x y=\pm C$. $\pm C$ を新しく $C$ と書き直して $y=\dfrac{C}{x}$ ($C$ は任意定数).

(4) $x^3 y'+y^2=0$ より、 $\dfrac{\D y}{\D x}=-\dfrac{y^2}{x^3}$. これから $\dsp\int\frac{\D y}{y^2}=-\int\frac{\Dx}{x^3}$. 積分を実行して、 $-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2x^2}+C$ ($C$ は積分定数). これを $y$ について解くと $y=-\dfrac{2x^2}{2Cx^2+1}$. これで解として良いが、$-2C$ を $C$ と置き換えると、 教科書の答 $\dfrac{2x^2}{Cx^2-1}$ に一致する。

(7) $x^2 y'+y^2=0$ より、 $\dfrac{\D y}{\D x}=-\dfrac{y^2}{x^2}$. これから $\dsp\int\frac{\D y}{y^2}=-\int\frac{\D x}{x^2}$. 積分を実行して、 $-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x}+C$ ($C$ は積分定数). これを $y$ について解くと $y=\dfrac{x}{-1-Cx}$. これで解として良いが、$C$ を $-C$ に置き換えると、 教科書の答 $\dfrac{x}{Cx-1}$ に一致する。

(10) $y'+a y^2=0$ より、 $\dfrac{\D y}{\D x}=-a y^2$. これから $\dsp\int\frac{\D y}{y^2}=-\int a\;\D x$. 積分を実行して、 $-\dfrac{1}{y}=-a x+C$ ($C$ は積分定数). これを $y$ について解くと $y=\dfrac{1}{ax-C}$. これで解として良いが、$C$ を $-C$ に置き換えると、 教科書の答 $\dfrac{1}{ax+C}$ に一致する。

(13) $y'\tan x=\cot y$ より、 $\tan y\;\D y=\cot x\;\Dx$. これから $\dsp\int\tan y\;\D y=\int \cot x\;\D x$. 積分を実行して、 $-\log\left\vert\cos y\right\vert=\log\left\vert\sin x\right\vert+C$ ($C$ は積分定数). 移項して $\log\left\vert\cos y\sin x\right\vert=-C$. ゆえに $\left\vert\cos y\sin x\right\vert=e^{-C}$. 絶対値を外して $\cos y\sin x=\pm e^{-C}$. $\pm e^{-C}$ を新しく $C$ と書き直して $\cos y\sin x=C$ ($C$ は任意定数). 教科書の答のようにここで止めてもよしとする。 $y$ について解くと、 $y=\cos^{-1}\left(\dfrac{C}{\sin x}\right)$.