0.0.0.8 解答

(1) まず $(x+y)\dfrac{\D y}{\Dx}=y$ より

$$\frac{\Dy}{\D x}=\frac{y}{x+y}=\frac{y/x}{1+y/x}.$$

一方 $u=\dfrac{y}{x}$ より $y=x u$. ゆえに $\dfrac{\D y}{\D x}= u+x\dfrac{\D u}{\D x}$. これを上の式に代入して

$$u+x\frac{\D u}{\D x}=\frac{u}{1+u}.$$

移項して

$$x\frac{\D u}{\Dx}=\frac{u}{1+u}-u=\frac{u-u(1+u)}{1+u}=\frac{-u^2}{1+u}.$$

整理して

$$\frac{\D u}{\Dx}=\frac{-u^2}{x(1+u)}.$$

(2) 微分方程式から $\dfrac{\Dx}{x}=-\dfrac{u+1}{u^2}\D u$ であるから、

$$\int\frac{\Dx}{x}=-\int\dfrac{u+1}{u^2}\D u =-\int\left(\frac{1}{... ...2}\right)\D u =\frac{1}{u}-\log\vert u\vert =\log\frac{e^{1/u}}{\vert u\vert}.$$

左辺は $\log\vert x\vert+\log C=\log C\vert x\vert$ ($\log C$ は積分定数) と変形できるので、

$$C\vert x\vert=\frac{e^{1/u}}{\vert u\vert}$$   すなわち$$\quad C x=\frac{e^{1/u}}{u}.$$

$u=x/y$ を代入して $C x=\dfrac{e^{x/y}}{y/x}$. $Cy=e^{x/y}$. $\qedsymbol$

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