0.0.0.12 解答

まず同次方程式 $z''+9z=0$ の一般解は $z=C_1 \cos 3x+C_2\sin 3x$ ($C_1$, $C_2$ は任意定数). $u=x(a\cos 3x+b\sin 3x)$ とおくと、

$$u''+9u=6b\cos 3x-6a\sin 3x.$$

これが $\sin 3x$ に等しいためには、$b=0$, $a=-\dfrac{1}{6}$. すなわち $u=-\dfrac{x}{6}\cos 3x$. ゆえに

$$y=z+u=C_1 \cos 3x+C_2\sin 3x-\dfrac{x}{6}\cos 3x.$$