授業の訂正など

桂田 祐史

Date: 2019年4月10日〜

授業中の間違いのうち、授業の後から気づいたものを記録することにしています。 変だなと思ったら、なるべく授業中に指摘・質問して下さい。

• (2019/4/10) これは間違いというわけではないのですが、 最後時間が不足気味になって、一つ省略したら、質問が来ました。 次回の授業で説明を補足しますが、今のうちに書いておきます。

  「$p$ かつ $q$」というのは、$p$ と $q$ が同時に成り立つときに成り立つ、 そうでないとき ($p$ と $q$ の少なくとも一方が成り立たない) に成り立たない¹、 と真理値を決めます。

  (こちらにとっては当たり前に近いことなので、 省略しても平気だろう、真理値表を書いてあるのだから、十分なはずだ、 と考えてしまいましたが、ちょっと浅はかでした。)
• (2019/4/10) 「排中律という言葉と並べると、矛盾律という言葉はおかしいな」 と思って調べてみたら、 「無矛盾律」という言葉もあることが分かりました。 むしろ数学ではその言葉を使う方が普通のようでした。 これからは「矛盾律」でなく「無矛盾律」と呼ぶことにします。
• (2019/5/8) (ほとんど言い訳みたいだ…)
  $p\THEN q\equiv (\neg p)\OR q$ のような式を書きました。 こういう式でかっこは必要か (省略出来ないのか)、 という意味の質問をされました。

  正直ちょっと困った。「省略して書いている人は多いので、 書いても構わないでしょう。 この授業では、 $\neg$ が $\OR$ よりも結合の優先順位が高いと約束していないので、 かっこをつけないと意味が曖昧になってしまいます (式が解釈できない -- 論理式として認められる式は、 こういうものである、という説明はしなかったので、 「曖昧」というくらいが落とし所でしょう)。」 という答えになるでしょうか。

  実は、多くの本で、講義ノートの付録A節に書いたように、結合の優先順位の高い順に

  1. $=$, $\in$
  2. $\neg$, $\forall x$, $\exists x$
  3. $\land$, $\lor$
  4. $\THEN$
  5. $\Iff$, $\equiv$
  であると決めてあります。 そのルールにのっとれば、 $(\neg p)\OR q$ は単に $\neg p\OR q$ と書けることになります。 さらに例えば問2(1)の解答も

  $$\neg q\THEN\neg p \equiv \neg\neg q\OR \neg p$$

  $$\equiv q\OR \neg p$$

  $$\equiv \neg p\OR q$$

  $$\equiv p\THEN q$$

  
  
  と書くことが出来ます(かっこが全部省略できました)²。 この辺をどうするかは、 授業をする側として悩ましいところです。 たくさんルールを決めれば、かっこがたくさん省略出来ることになりますが、 読みにくく感じる人、読み間違える人も出るでしょう。 4コマ半の授業で論理を終わらせるために汲々しているので、 優先順位の解説と、それに慣れるための練習の時間はカットしている、 という事情があります (数式の場合は膨大な練習を積むのが普通ですが、 論理式について専門家になるわけでもないので、 そんな時間の余裕はありません。)。

  数式については皆さん良く慣れていると思いますが、 等号$=$の優先順位が一番低い、と言われて、すぐに納得出来るでしょうか。 小学校以来の長い間、計算を見たり自分でやったりしているうちに、 無意識で身についていると思います。

  $$1+2\times 3=4-5\times 6$$
  は
  $$(1+(2\times 3))=(4-(5\times 6))$$
  のように結合している。 論理式においては、同値 $\equiv$ の優先順位が一番低いですが、 この授業ではそのことをちゃんと説明しませんでした。 等号 $=$ のアナロジーで分かってくれるかな？ と考えてサボっているのです。 $\equiv$ の優先順位は一番低い、その他については何も決めない、 そうして式を書いているのです。

  他の人が使っていることは使っても良いのでは？という考え方もあるでしょう。 ところがやってみると、どこまで認めるかなかなか難しいのです。 授業で使っている記号の使い方と矛盾したりする場合もあって、 すべて認めるわけには行きません。いちいち、これはダメ、 あれはOKとやるよりは、授業で説明したルールだけを使ってやってみる、 としてもらいたいのです。
  この説明をなるべく短くして、来週の授業で説明してみよう… 出来るかな？