数理リテラシー (2018年度)
「数理リテラシー」は明治大学現象数理学科の学生を対象とした、
論理・集合・写像の入門講義です
(シラバス,
全体のシラバスは
総合数理学部 授業時間割表・シラバス にあります)。
2組の授業は、水曜4限に310号室で行われます。
授業の内容に対する質問などは別にして、静粛が原則です。
(本当は丁々発止するのが良いと思っていて、
合いの手とか、感想を漏らしてくれるのは歓迎するところなのだけど、
誰でも出来るものではないかも。)
板書がおかしいとか、部屋が暑いとか、マイク音が入っていないとか、
言ってくれると助かります。
連絡事項
-
期末試験解答
--- 期末試験でぐっと伸びた人が多くて嬉しいです。
この後の数学の学習に役立ちますように (お祈り)。
- 問10の宿題が行方不明になった人が5人ほどいましたが、
別の科目(私の「数学解析」)のレポートに紛れ込んでいました。
要するに、投函し間違えた、ということです。
まあ間違えやすい位置にあったのだと想像しますが、
気をつけて下さい。
もちろん宿題は提出したとカウントします。
-
中間試験の問題と解答 (2018/7/4版)
- 6月6日の授業で配布したプリントに間違いがありました。
授業中に訂正しましたが、
念のために
訂正版
を置いておきます。
講義ノート
昨年度の講義ノートを更新しながら使用するつもりです
(必要な場合は、講義した日の晩に加筆・修正する --- 桂田の努力目標)。
問
ほぼ毎週(初回と中間試験以外)宿題を出します。
水曜に出されたものを、
次の週の月曜 13:30 までに、
低層棟3階レポート提出BOXに投函すること。
1組と間違えないように注意して下さい。
万一、締め切りに間に合わなかった場合、
火曜日の18:00までに910号室に持ってきて直接手渡しするか、
メールボックスに投函してもらえれば、半分にカウントします。
(水曜は研究室にいるかどうか不明)。
毎週、出した宿題はここに載せることにしてあるのですが、
うっかり置きそびれたり、リンクを貼り忘れたりすることがあります
(そういうときは、ごめんなさい)。そういうときは、メールでリクエストして下さい。
- (2018/4/18出題, 4/23までに提出)
- (2018/4/25出題, 5/7までに提出)
問(1)と(2)の(a),(b)が宿題。
(2)の(c),(d)と(3)は次回以降。
- (2018/5/9出題, 5/14までに提出)
- (2018/5/16出題, 5/21までに提出)
- (2018/5/23出題, 5/28までに提出)
問5(4)最後の$2^A$, (5) は次回以降にします。
- (2018/5/30出題, 6/4までに提出),
問6解説
(授業中に配布したプリントに間違いがあって訂正したので、
念のため訂正版をWWWにおきます。)
- (2018/6/6出題, 6/11までに提出)
- (2018/6/13出題, 6/18までに提出)
- (2018/6/27出題, 7/2までに提出)
- (2018/7/4出題, 7/9までに提出)
- (2018/7/11出題, 7/16までに提出)
授業では問の解説のプリントを配布することもあるけれど、
それはここには載せないことにします。
資料・リンク
授業の記録
- (2018/4/11) イントロダクション(30分),
命題論理に入る。講義ノートの1.3まで。
- (2018/4/18)
「かつ」、真理値表の書き方、真理値表を用いた証明、
同値変形による証明。問1を宿題として出す。
- (2018/4/25)
問1の解説。「ならば」。述語論理に入って、
述語とは何か。$\forall x\quad p(x)$と
$\exists x\quad p(x)$. 複数の量称記号の例まではいかない。
- (2018/5/9)
問2の解説。複数の量称記号を含む命題。
$\forall x \forall y P(x,y)$,
$\forall x \exists y P(x,y)$,
$\exists x \forall y P(x,y)$,
$\exists x \exists y P(x,y)$.
式を順に機械的に読むことを推奨する。
「任意の○に対して」、「ある□が存在して」。
証明の書き方 ($\forall x$: $P(x)$) とあったら、
「$P(x)$ が成り立つような任意の $x$ に対して」と書き始める。
($\exists x$: $P(x)$) とあったら $P(x)$ を満たす $x$ の発見問題と
みなす。
- (2018/5/16)
問3解説。
前回の補足: 量称記号を含む論理式の否定
「$\forall$は$\exists$ に、$\exists$ は $\forall$に置き換え、
最後の条件を否定する。」
「$\neg(\forall x\ P(x))\equiv \exists x\neg P(x)$,
$\neg(\exists x\ P(x))\equiv \forall x\neg P(x)$.」
2章「集合」に入る。
集合は長い歴史を持つ数学にとっては比較的新しめの概念である。
この講義では、
数学の言語としての集合、
素朴な集合論 (naive set theory) を説明する
(←→公理的集合論)。
要素、$\in$, $\not\in$,
集合の表し方。外延的定義。内包的定義 $\{x\mid P(x)\}$。
集合の相等, 部分集合 $\subset$
- (2018/5/23)
問4解説。集合の記法の補足(よく使われる変種
$\{x\mid P(x),Q(x)\}$, $\{x\in A\mid P(x)\}$,
$\{f(x)\mid P(x)\}$),
部分集合の補足 (証明など),
空集合 (意外に難しい「空集合は任意の集合の部分集合」),
和集合(合併) $A\cup B$, 積集合(共通部分、交わり) $A\cap B$,
差集合 $A\setminus B=A-B$, 補集合 $A^c$,
直積集合 $A\times B$
- (2018/5/30)
問5解説。
ベキ集号。$A$ が有限集合の場合、$|2^A|=2^{|A|}$
($|A|$ で $A$ の要素数を表すとして).
集合の集合を、
集合族 (a family of sets) とか、集合の類 (a class of sets) という。
${\cal A}=\left\{A_n\mid n\in\mathbb{N}\right\}$ の場合の、
共通部分、合併の定義。例として、
$A_n=\{x\mid -1/n\lt x\lt 1/n\}$.
$A_n=\{x\mid -n\lt x\lt n\}$ の場合をあげた。
- (2018/6/6)
中間試験についてアナウンス。
問6解説。途中で、§2.10に入る。
集合に関する定理をどのように証明するか。
ヴェン図は証明と認めない。
この講義では、論理について詳しく説明して、
それに基づいて集合の合併、共通部分、補集合などを定義したので、
原則としてそこから続いた議論としたい。
そもそもヴェン図は、集合の数が増えると一般の場合が描けなかったりする。
集合の等式 $A=B$ の証明は、
(i) $A\subset B$
(「$x\in A$ とすると」でスタートして「$x\in B$」がゴール)
と
(ii) $B\subset A$
(「$x\in B$ とすると」でスタートして「$x\in A$」がゴール)
を言うのが基本。
一気に $x\in A\Leftrightarrow x\in B$ が示せる場合もある。
例として、分配法則、ド・モルガンの法則、
「$A\subset B\Leftrightarrow A\cap B=A$」の証明を説明した。
問6(2)の証明部分を説明する (それは集合の等式)。
アルキメデスの公理の説明をする
(うっかりして忘れていた)。問7(2) について説明。
集合の等式の証明であるから、書き出しと、最後の部分は書けるはず。
全部出来なくてもそれは書いてみよう(白紙はやめよう)。
- (2018/6/13)
おっと、書かないと。
- (2018/6/20)
中間試験
- (2018/6/27)
過去問
注意: 過去の中間試験では、試験範囲に写像が入っていましたが、
2015, 2017年度は、論理と集合だけです。
練習が大事です。解答例を読むのでなくて、
書き写すとか、解答を見ないで書いてみて後でチェックするとか、
人と議論するとか、
自分から何らかの形でアウトプットしてみることが必要でしょう
(脳内限定はダメです)。
授業に出て真剣にノートを取って
(だから板書を撮るのはあまり勧められない)、
宿題を自分で解いて提出して、
返却されたものを検討していれば自然にそうしているはずですが、
どこかでサボった人が単位を取るには、
後からでも、それを補う必要があるはずです。
katurada@meiji.ac.jp (@はASCIIの@)
Last modified: Mon Aug 20 15:10:30 2018