2 p.38 問題2 (1)〜(8) の略解

前回宿題を含む問題だが、 時間がないので黒板上での説明は省略する。

(1)

$I=\dsp\int\frac{\D x}{x^2-6x+13}=\int\frac{\D x}{(x-3)^2+4}$. $x-3=u$ とおくと、 $I=\dsp\int\frac{\D u}{u^2+1}=\frac{1}{2}\tan^{-1}u+C =\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{x-3}{2}\right)+C$.

(2)

$I=\dsp\int\frac{\D x}{\sqrt{5+2x-x^2}}= \int\frac{\D x}{\sqrt{6-(x-1)^2}}$. $x-1=\sqrt{6}u$ とおくと、 $I=\dsp\int\frac{\D u}{\sqrt{1-u^2}}=\sin^{-1}u+C =\sin^{-1}\left(\frac{x-1}{\sqrt{6}}\right)+C$.

(3)

$I=\dsp\int\frac{\D x}{\sqrt{-x^2+4x-3}}=\int\frac{\D x} {\sqrt{1-(x-2)^2}}$. $x-2=u$ とおくと、 $I=\dsp\int\frac{\D u}{\sqrt{1-u^2}}=\sin^{-1}u+C =\sin^{-1}\left(x-2\right)+C$.

(4)

$I=\dsp\int\frac{\D x}{\sqrt{x^2-6x+12}}=\int\frac{\D x} {\sqrt{(x-3)^2+3}}$. $x-3=\sqrt{3}u$ とおくと、 $I=\dsp\int\frac{\D u}{\sqrt{u^2+1}}=\log\left\vert u+\sqrt{u^2+1}\right\vert +... ...2-6x+12}{3}}\right\vert+C =\log\left\vert x-3+\log\sqrt{x^2-6x+12}\right\vert+C$.

(5)

$I=\dsp\int\sqrt{x^2+4x}\Dx=\int {\sqrt{(x+2)^2-4}}\Dx$. $x+2=2u$ とおくと、 $I=4\dsp\int\sqrt{u^2-1}\D u+C =4\cdot\frac{1}{2} \left(u\sqrt{u^2-1}-1\cdot\lo... ...]+C =\frac{x+2}{2}\sqrt{x^2+4x}-2\log\left\vert x+2+\sqrt{x^2+4x}\right\vert+C'$.

(6)

$I=\dsp\int\sqrt{x^2+4x+13}\Dx=\int {\sqrt{(x+2)^2+9}}\Dx$. $x+2=3u$ とおくと、 $I=9\dsp\int\sqrt{u^2+1}\D u+C =9\cdot\frac{1}{2} \left(u\sqrt{u^2+1}+1\cdot\log\left\vert u+\sqrt{u^2+1}\right\vert\right)+C =($中略$) =\frac{x+2}{2}\sqrt{x^2+4x+13} +\frac{9}{2}\log\left\vert x+2+\sqrt{x^2+4x+13}\right\vert+C'$.

(7)

$I=\dsp\int\sqrt{-x^2-4x}\Dx=\int {\sqrt{4-(x+2)^2}}\Dx$. $x+2=2u$ とおくと、 $I=4\dsp\int\sqrt{1-u^2}\D u+C =4\cdot\frac{1}{2}\left(u\sqrt{1-u^2}+1^2\cdot\sin^{-1}u\right)+C =2\left(u\sqrt{1-u^2}+\sin^{-1}u\right)+C$ $=2\left[\frac{x+2}{2}\sqrt{\frac{-x^2-4x}{4}}+\sin^{-1}\frac{x+2}{2}\right]+C =($中略$) =\dsp\frac{x+2}{2}\sqrt{-x^2-4x} +2\sin^{-1}\left(\frac{x+2}{2}\right)+C$.

(8)

$I=\dsp\int\sqrt{-x^2+4x-3}\Dx=\int {\sqrt{1-(x-2)^2}}\Dx$. $x-2=u$ とおくと、 $I=\dsp\int\sqrt{1-u^2}\D u+C =\frac{1}{2}\left(u\sqrt{1-u^2}+1^2\cdot\sin^{-1}u\right)+C =\frac{1}{2}\left(u\sqrt{1-u^2}+\sin^{-1}u\right)+C =($中略$)$

$\dsp=\frac{1}{2}\left[(x-2)\sqrt{-x^2+4x-3}+\sin^{-1}(x-2)\right]+C$.