3.0.0.1 解答

(1) $x=\tanh^{-1}y$ とおくと、

$$y=\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x} =\frac{(e^{x}-e^{-x})/2}{(e^{x}+e^{-x})/2} =\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}.$$

$X=e^{x}$ とおくと、

$$y=\frac{X-1/X}{X+1/X}=\frac{X^2-1}{X^2+1}.$$

これを $X^2$ について解く:

$$y(X^2+1)=X^2-1 \quad\therefore 1+y=X^2(1-y) \quad\therefore X^2=\frac{1-y}{1+y}.$$

$X=e^x>0$ に注意して、 $e^x=X=\sqrt{\dfrac{1-y}{1+y}}$. ゆえに

$$x=\log X=\log\sqrt{\frac{1-y}{1+y}} =\frac{1}{2}\log\frac{1-y}{1+y}.$$

(2) やり方は二つ考えられる。 まず (1) の結果を直接微分する方法。

$$\left(\tanh^{-1}y\right)' =\left(\frac{1}{2} \left[ \log\vert y+1... ...}{y+1}-\frac{1}{y-1}\right) =\frac{1}{2}\frac{-2}{(y+1)(y-1)}=\frac{1}{1-y^2}.$$

つぎに逆関数の微分法を用いる方法。

$$\dfrac{\D y}{\D x}=\dfrac{1}{\cosh^2 x} =\dfrac{\cosh^2 x-\sinh^2 x}{\cosh^2 x}=1-\tanh^2 x=1-y^2$$   より$$\quad \frac{\D x}{\D y}=\frac{1}{\;\dfrac{\D y}{\D x}\;}=\frac{1}{1-y^2}.$$