2.0.0.1 解答

(1) $y=f(x)=\tan^{-1} x$ とおくと、

$$x=\tan y$$   $$\mbox{($-\dfrac{\pi}{2}<y<\dfrac{\pi}{2}$)}$$

であるから、

$$\frac{\D x}{\D y}=\frac{1}{\cos^2 y}=1+\tan^2 y=1+x^2.$$

逆関数の微分法から

$$f'(x)=\frac{\D y}{\D x}=\frac{1}{\dfrac{\D x}{\D y}} =\frac{1}{1+x^2}.$$

(2) 商の微分法から

$$f''(x)=\left(\frac{1}{x^2+1}\right)' =\frac{-(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} =\frac{-2x}{(x^2+1)^2}.$$

ゆえに $f$ は $\R$ 全体で単調増加であり、 $x<0$ で下に凸、 $x>0$ で上に凸である。 これから増減表とグラフは

$x$	$-\infty$		0		$\infty$
$f'(x)$		$+$	$+$	$+$
$f''(x)$		$+$	0	$-$
$f(x)$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\nearrow$	0	$\nearrow$	$\dfrac{\pi}{2}$

    

なお、逆関数 $\tan$ について、

$$\lim_{x\to-\frac{\pi}{2}+0}\tan x=-\infty, \quad \lim_{x\to\frac{\pi}{2}+0}\tan x=\infty,$$

であり、$x=-\pi/2$, $x=\pi/2$ が $y=\tan x$ のグラフの漸近線であることか ら、

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\frac{\pi}{2},\quad \lim_{x\to\infty}f(x)=\frac{\pi}{2}$$

であり、 $y=\dfrac{\pi}{2}$, $y=-\dfrac{\pi}{2}$ は $y=f(x)$ のグラフの漸近線と なる。 $\qedsymbol$

ARRAY(0xc72028)