1A

(1) $\sin^{-1}$ は $[-\pi/2,\pi/2]\ni x\mapsto \sin x\in [-1,1]$ の逆関数、 $\cos^{-1}$ は $[0,\pi]\ni x\mapsto \cos x\in [-1,1]$ の逆関数であるから、 「逆関数のグラフはもとの関数のグラフを $y=x$ について折り返したものである」 という事実を用いれば簡単に描ける (特に $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ の 定義域はともに $[-1,1]$ で、 値域はそれぞれ $[-\pi/2,\pi/2]$, $[0,\pi]$ である)。

(この問題で厳しい採点をすると危ないと感じたので、 この問題の配点は低く押さえた。) 授業で導入した逆三角関数はいわゆる主値というやつで、 ふつうの一価関数だが、 この答案には (一つの $x$ に複数の $y$ が対応する) 多価関数のグラフを描いてしまった人が多かった。 多価関数として扱う場合もないわけではないが、 その場合は、 何の制限もつけない無限多価関数とするのが普通である。 ところが答案では自分で勝手な範囲に制限して、 (率直に言って) 「変な」解答が多かった。

(2) (繰り返しになるが) $\sin^{-1}$ の逆は $f\colon[-\pi/2,\pi/2]\to[-1,1]$, $f(x)=\sin x$. そこで $y=\sin^{-1}x$ とおくと、$x=\sin y$, $y\in[-pi/2,\pi/2]$ となるので、 $\cos y\ge 0$ に注意して ¹、

$$\frac{\D x}{\D y}=\cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}=\sqrt{1-x^2}.$$

ゆえに

$$\left(\sin^{-1} x\right)'=\frac{\D y}{\D x}= \left(\frac{\D x}{\D y}\right)^{-1}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

(3) (これは授業中に二通りの解法を示した。)