A. Boole 代数

G. Boole が論理計算の場として導入したものであるが、 論理以外にも可測集合族などの集合束としてあちこちに現れる。

集合 $L$ が与えられ、その任意の 2 要素 $x$, $y$ に対して $x \cap y$, $x \cup y$ と書かれる $L$ の元が対応づけられていて、次の法則が成り立つ ものとする。

1) 交換法則

$x\cup y=y\cup x$, $x\cap y=y\cap x$.

2) 結合法則

$x\cup (y\cup z)=(x\cup y)\cup z$, $x\cap (y\cap z)=(x\cap y)\cap z$.

3) 吸収法則

$x\cup (y\cap x)=(x\cup y)\cap x=x$.

4) 分配法則

$x\cup(y\cap z)=(x\cup y)\cap (x\cup z)$,     $x\cap(y\cup z)=(x\cap y)\cup (x\cap z)$.

この 1), 2), 3) から巾等法則

$$x\cup x=x, \quad x\cap x=x$$

が導かれる。また

$$x\le y \DefIff x\cup y=y$$

として関係 $\le$ を定めると、これは $L$ 上の順序関係になる。 ここでさらに

5) 相補法則

最小限 0 と最大限 $I$ が存在し、任意の元 $x$ に対してある元 $x'$ を取れば

$$x\cup x'=I, \quad x\cap x'=0.$$

が成り立つとき、 $L$ を Boole 代数または Boole 束と呼ぶ。

なお、$x$ に対して $x'$ は一意に定まり、 $x$ の補元 (complement) と呼ばれる。

$\cup$, $\cap$, $'$ を Boole 演算と総称する。

これに関して De Morgan の法則 (De Morgan's law)

$$(x\cup y)'=x'\cap y',\quad (x\cap y)'=x'\cup y'$$

が成り立つ。