1.2 細かい工夫 -- 周期関数の定義

Fourier級数の部分和が元の関数に近いことを確かめるには、 両方のグラフを描いて比較するのが良い。

上の例では、周期 $ 2\pi$ の周期関数を、 $ [-\pi,\pi)$ での値を指定することで定義した。 Mathematica でそれに相当することをするには、次のようにすればよい。
f0[x_]:=Abs[x]
f[x_]:=f0[Mod[x,2Pi,-Pi]]

g0[x_]:=Which[-Pi<x<0,-1,x==0||x==Pi,0,0<x<Pi,1]
g[x_]:=g0[Mod[x,2Pi,-Pi]]

Mod[$ a$, $ b$, $ c$] は、手短に言うと、 $ a$$ b$ で割った余りを $ [c,c+b)$ の範囲で求めてくれる。 つまり、 $ a\in\mathbb{R}$, $ b>0$, $ c\in\mathbb{R}$ とするとき、

$\displaystyle a=bq+r,\quad q\in\mathbb{Z},\quad c\le r<c+b
$

を満たす $ q$, $ r$ が一意的に存在するが、 Mod[$ a$, $ b$, $ c$] はこの $ r$ を表す。

ゆえに r=Mod[x,2$ \pi$,-$ \pi$] とすると、 ( $ \exists q\in\mathbb{Z}$) $ x-r=\textcolor{red}{2\pi}\cdot q$, $ r\in[\textcolor{blue}{-\pi},\textcolor{blue}{-\pi}+\textcolor{red}{2\pi})
=[-\pi,\pi)$. $ f$ が周期 $ 2\pi$ であるから $ f(x)=f(r)$.



桂田 祐史