画像処理とフーリエ変換 課題 No. 3     (2020/1/8 出題, 締め切り 1/25 18:00)

                番     氏名                                  (Oh-o! MeijiにPDFで提出することを推奨, またはA4サイズの紙で桂田の研究室メールボックスに投函。)


(課題 No. 1, 2 レポートを提出しそびれた人用。)

(a)
$ a>0$ に対して、関数 $ f$

$\displaystyle f(x)=
\left\{
\begin{array}[tb]{ll}
\dfrac{1}{2a}& \text{($\vert x\vert<a$)} \\
0& \text{($\vert x\vert>a$)}
\end{array}\right.
$

で定めるとき、$ f$ の Fourier 変換を (Fourier 変換の定義に基づき) 求めよ。
(b)
$ a>0$ に対して、関数 $ g(x)=\dfrac{\sin\left(ax\right)}{ax}$ ( $ x\in\mathbb{R}$) の Fourier 変換を求めよ (結果だけでなく、そうなる理由も述べよ)。
(c)
連続関数 $ \psi\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が与えられたとき、

(1)   $\displaystyle \frac{\rd^2 u}{\rd t^2}(x,t)=\frac{\rd^2 u}{\rd x^2}(x,t)$   ( $ (x,t)\in\mathbb{R}\times(0,\infty)$)$\displaystyle ,$
(2)   $\displaystyle u(x,0)=0,\quad \frac{\rd u}{\rd t}(x,0)=\psi(x)$   ( $ x\in\mathbb{R}$)

を満たす $ u$ を求めたい (波動方程式の初期値問題)。
(1)
$ u$$ x$ に関するFourier変換 $ \hat u(\xi,t)=\dsp\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int_{-\infty}^\infty u(x,t)e^{-ix\xi}\;\Dx$ の満たす微分方程式の 初期値問題を導き、それを解け。
(2)
$ \hat u$ を逆Fourier変換することによって、$ u$ を求めよ。 (この問題の解の公式は有名であり、 それによると $ u(x,t)=\dsp\frac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t}
\psi(y)\;\Dy$ となる。検算のために用いると良い。)



桂田 祐史
2020-01-20