授業の訂正

桂田 祐史

Date: 2017年9月2x日〜

授業中の間違いのうち、授業の後から気づいたものを記録することにしています。 変だなと思ったら、なるべく授業中に指摘・質問して下さい。

• 2017/10/4 授業の終盤

  $\left\Vert f-h\right\Vert=\dsp\inf_{g\in V}\left\Vert f-g\right\Vert$     $\THEN$      $(f-h)\perp V$

  の証明で不等式の向きを間違えました (泣)。

証明. 　$g\in V$ として、$v:=g-h$ とおく ($v$ は $h$ から $g$ に向かうベクトル)。 $t\in\mathbb{R}$ に対して、$h+tv$ は $h$ と $g$ を結ぶ直線 ($\subset V$ ) 上を動く。

$$F(t):=\left\Vert f-\left(h+tv\right)\right\Vert^2$$   ( $t\in\mathbb{R}$ )

という関数を考える。$t=0$ のとき、$h+tv=h$ で、 これが $V$ 上の点のうち最も $f$ に近いという仮定から、

$$F(0)=\left\Vert f-h\right\Vert^2\textcolor{red}{\le}\left\Vert f-(h+t v)\right\Vert^2=F(t).$$

つまり $F$ は $t=0$ で最小である。

$$F(t)=\left\Vert f-h\right\Vert^2-2t(f-h,v)+t^2\left\Vert v\right\Vert^2$$

は2次関数であるから、$t=0$ で最小であるためには$1$ 次の係数が0 でなけれ ばならない。

$$(f-h,v)=0$$   (つまり $(f-h,g-h)=0$ $$).$$

これが任意の$g$ について成り立つことから、 $(f-h)\perp V$ . $\qedsymbol$ $\qedsymbol$