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\usepackage{bm}% \bm{} を使う
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\newcommand{\MyIm}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\qed}{\hbox{\rule{6pt}{6pt}}}
\newcommand{\dsp}{\displaystyle}

\pagestyle{empty}

\西暦

\begin{document}
\begin{center}
  \textbf{複素関数・同演習 宿題 No.~8}
  \quad (2021年11月16日出題, 11月24日10:50 までに PDF 形式で提出)
\end{center}

\underline{\quad}年\underline{\quad} 組\underline{\quad\quad}番
\quad 氏名\underline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad}
% \quad\quad (解答は裏面も使用可, A4レポート用紙で提出も可能)
\quad (解答は裏面も使用可, A4レポート用紙に書いても可)

\medskip
\paragraph{問8}
(1) $C$: $z=3e^{i\theta}$ ($\theta\in[0,\pi/2]$) とする時、
$\dsp\int_{C}\frac{\D z}{(\bar z)^4}$ の値を求めよ。
\begin{enumerate}[(1)]
\setcounter{enumi}{1}
\item
  $r>0$, $c\in\C$, $n\in\Z\setminus\{-1\}$ のとき、
次の線積分の値を求めよ。
 (a) $\dsp\int_{|z-c|=r}\dfrac{\Dz}{z-c}$
 \quad (b) $\dsp\int_{|z-c|=r}(z-c)^n\;\Dz$
\item
  次の各曲線 $\gamma$ に対して、$\dsp\int_\gamma \MyRe z\;\Dz$ 
の値を求めよ。\quad
(i) $0$ から $1$, そして $1$ から $1+i$ に至る折れ線 \\
(ii) $0$ から $i$, そして $i$ から $1+i$ に至る折れ線 \quad
(iii) $0$ から $1+i$ に至る線分
\item
4点 $0$, $1$, $1+i$, $i$ を頂点とする正方形の周を正の向きに
一周する曲線を $\mathit{\Gamma}$ とするとき、
$\dsp\int_{\mathit{\Gamma}}\MyIm z\;\Dz$,
 $\dsp\int_{\mathit{\Gamma}}(3z^2+2z+1)\Dz$ の値を求めよ。
\end{enumerate}
補足 \url{http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/complex/memo-toi8.pdf} を見ること。

\newpage
\begin{screen}
\begin{verbatim}
(* (1) *)
li[fz_, phit_, a_, b_] := 
 Integrate[(fz /. z -> phit) D[phit, t], {t, a, b}]

(* (2) (a) *)
li[1/(Conjugate[z])^4,3Exp[I t],0,Pi/2]

(* (3) (i) *)
li[1/(z-c),c+r Exp[i t],0,2Pi]

(* (3) (ii) *)
li[Re[z],t,0,1]+li[Re[z],1+I t,0,1]

(* (3) (iii) *)
li[Re[z], (1 + I) t, 0, 1]

(* (4) *)
f[z_] := Im[z]
li[f[z],t,0,1]+li[f[z],1+I t,0,1]+li[f[z],1+I-t,0,1]+li[f[z],I-I t,0,1]

f[z_] := 3z^3+2z^2+z
li[f[z],t,0,1]+li[f[z],1+I t,0,1]+li[f[z],1+I-t,0,1]+li[f[z],I-I t,0,1]
\end{verbatim}
 (2)は「覚えてしまえ」だけど、(b) は Mathematica でどうやったら計算できるのか？
\end{screen}

\end{document}
