0.0.0.4 余談

曲線 $C_1$, $C_2$ は、 パラメーターづけ ( $\Vector{\varphi}$, $\Vector{\psi}$ のこと) は異なるが、 像 (図形としての曲線) と、 向き (どこからスタートしてどこに向かうか) は一致するので、 線積分の値は等しい:

$$\int_{C_1}\Vector{f}\cdot\D\Vector{r} = \int_{C_2}\Vector{f}\cdot\D\Vector{r}.$$

これは

$$I:=\int_0^1\left(t^{3/2}+\frac{3}{2}t^{5/2}\right)\D t$$

において、$t^{1/2}=s$ と置換積分することによっても証明できる。 実際、 $t=s^2$, $\D t=2s\;\D s$, $t=0$ のとき $s=0$, $t=1$ のとき $s=1$ であるから、

$$I=\int_0^1 \left(s^3+\frac{3}{2}s^5\right)\cdot 2s\;\D s =\int_0^1 \left(2s^4+3s^6\right)\D s$$

となる。