0.0.0.1 問

(1) $\R^3$ 内の $C^2$ 級の任意のベクトル場 $\Vector{f}$ に対して、 $\Div(\rot\Vector{f})=0$ を示せ。 (2) $f(x,y,z):=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ とするとき、 $\grad f$, $\Laplacian f$ を求めよ。

(1) (まずは $\rot$ の定義を復習) $\Vector{f}=(f_1,f_2,f_3)^T$ とするとき、

$$\rot\Vector{f} =\det \left( \begin{array}{ccc} \frac{\rd}{\rd x_1... ...\ [0.5em] \frac{\rd f_2}{\rd x_1}-\frac{\rd f_1}{\rd x_2} \end{array}\right).$$

(続いて $\Div$ の定義を復習) 一方、 $\Vector{g}=(g_1,g_2,g_2)^T$ とするとき、

$$\Div\Vector{g}=\frac{\rd g_1}{\rd x_1}+\frac{\rd g_2}{\rd x_2} +\frac{\rd g_3}{\rd x_3}.$$

$\Vector{g}=\rot\Vector{f}$ とすると、

$$\Div(\rot\Vector{f}) =\Div\Vector{g} =\frac{\rd}{\rd x_1} \left(\frac{\rd f_3}{\rd x_2... ...frac{\rd}{\rd x_3} \left(\frac{\rd f_2}{\rd x_1}-\frac{\rd f_1}{\rd x_2}\right)$$

$$=\frac{\rd^2 f_3}{\rd x_1\rd x_2} -\frac{\rd^2 f_2}{\rd x_1\rd x_... ...x_2\rd x_1} +\frac{\rd^2 f_2}{\rd x_3\rd x_1} -\frac{\rd^2 f_1}{\rd x_3\rd x_2}$$

$$=\left(\frac{\rd^2 f_3}{\rd x_1\rd x_2} -\frac{\rd^2 f_3}{\rd x_2... ...left(\frac{\rd^2 f_1}{\rd x_2\rd x_3} -\frac{\rd^2 f_1}{\rd x_3\rd x_2}\right).$$

$\Vector{f}$ が $C^2$ 級であるから、 2階導関数は偏微分の順序によらないので、カッコ内はすべて 0 である。

$$\Div(\rot\Vector{f})=0+0+0=0.$$

(2) $f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}$ であるから、

$$\frac{\rd f}{\rd x} =-\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-3/2} \cdot\frac{\rd}{\rd x}\left(x^2+y^2+y^2\right) =\frac{-x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}.$$

$\dfrac{\rd f}{\rd y}$, $\dfrac{\rd f}{\rd z}$ についても同様なので、

$$\grad f=\left(\frac{\rd f}{\rd x},\frac{\rd f}{\rd y},\frac{\rd f... ...1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\left( \begin{array}{c} x \ y \ z \end{array}\right).$$

一方、

$$\frac{\rd^2 f}{\rd x^2}=\frac{\rd}{\rd x}\frac{\rd f}{\rd x} =\frac{\rd}{\rd x}\left(-x\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-3/2}\right)$$

$$=-1\cdot\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-3/2}-x\cdot \frac{-3}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-5/2}\cdot 2x$$

$$=\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-5/2}\left[-(x^2+y^2+z^2)+3x^2\right] =\frac{2x^2-y^2-z^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2}}.$$

同様にして

$$\frac{\rd^2 f}{\rd y^2}=\frac{2y^2-z^2-x^2}{\left(x^2+y^2+z^2\rig... ...ad \frac{\rd^2 f}{\rd z^2}=\frac{2z^2-x^2-y^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{5/2}}$$

であるから、

$$\Laplacian f=\frac{\rd^2 f}{\rd x^2}+\frac{\rd^2 f}{\rd y^2}+\frac{\rd^2 f}{\rd z^2}=0.$$

なお、本質的におなじことだが、 $r=(x^2+y^2+z^2)^{1/2}$ とおくと、 $r_x=x/r$ となることを用いて、$f=1/r$ から $f_x=-x/r^3$, $f_{xx} =3x^2/r^5-1/r^3$ と進めると、コンパクトに書けて良いかもしれない。