微分積分学2
フビニの定理の演習問題
2006年10月12日

$\R^2$ の部分集合 $\Omega$ が、 $\varphi_1(x)\le\varphi_2(x)$ ($x\in[a,b]$) を満す $\varphi_1$, $\varphi_2$ によって

$$\heartsuit_1 \Omega=\{(x,y); x\in[a,b],\ \varphi_1(x)\le y\le \varphi_2(x)\}$$

と書けるならば、

$$\heartsuit_2 \dint_\Omega f(x,y)\;\DxDy =\int_a^b\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\;\Dy\right)\Dx.$$

($\Omega$ の点の $x$ 座標の最小値 $a$、最大値 $b$, 下のグラフ $y=\varphi_1(x)$, 上のグラフ $y=\varphi_2(x)$ を探す。)

同様に $\Omega$ が、 $\psi_1(y)\le\psi_2(y)$ ($y\in[c,d]$) を満す $\psi_1$, $\psi_2$ によって

$$\spadesuit_1 \Omega=\{(x,y); y\in[c,d],\ \psi_1(y)\le x\le \psi_2(y)\}$$

と書けるならば、

$$\spadesuit_2 \dint_\Omega f(x,y)\;\DxDy =\int_c^d\left(\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\;\Dx\right)\Dy.$$

($\Omega$ の点の $y$ 座標の最小値 $c$、最大値 $d$, 左のグラフ $x=\psi_1(y)$, 右のグラフ $x=\psi_2(y)$ を探す。)

• $\Omega$ がどういうものか認識することが重要。 二重積分の場合は平面図形なので、 図をきちんと描くのが絶対のお勧め。 $\varphi_j(x)$ や $\psi_j(y)$ を読み取る辺りが山場か。
• ( $\heartsuit$), ( $\spadesuit$) のどちらが良いかはケース・バイ・ケース。 詰まったらスイッチすること。
• 「積分順序を交換する」という問題には、
  $$(\heartsuit_2)\Then(\heartsuit_1)\Then$$$$\mbox{$\Omega$\ の図を描く}$$$$\Then(\spadesuit_1)\Then(\spadesuit_2)$$
  または
  $$(\spadesuit_2)\Then(\spadesuit_1)\Then$$$$\mbox{$\Omega$\ の図を描く}$$$$\Then(\heartsuit_1)\Then(\heartsuit_2)$$
  と進める。