微分積分学2
9月28日の演習の解説

桂田 祐史

Date: 2006年10月5日

(テキストの問題の詳しい解答を配布することは出来ないので、 要所要所を説明するに止める。)

2次元閉区間上の重積分

$$\dint_{A}f(x,y)\;\D x\,\D y,\quad A=[a,b]\times[c,d]$$

がテーマである。これに対しては、次の公式がある。

$$\dint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)\;\D x\,\D y =\int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\;\D y\right)\D x =\int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)\;\D x\right)\D y$$

どちらの変数で先に積分するのがよいかはケース・バイ・ケースで、 やってみないと分からない。

もしも $f(x,y)=F(x)G(y)$ のように、$x$ だけの関数と $y$ だけの関数の 積に分解される場合は、

$$\dint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)\;\D x\,\D y =\left(\int_a^b F(x)\;\Dx\right) \left(\int_c^d G(y)\;\Dy\right)$$ (☆)

と 1 変数の問題に帰着される。

よく知っているはずの公式だけど結構間違えるので一言

$$\heartsuit \int x^\alpha\;\Dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1} \mbox{($\alpha$\ は $\alpha\ne-1$\ となる実定数)}$$

という公式は、 (i) 指数 $\alpha$ に $1$ を足す、 (ii) 微分して元に戻るように $\dfrac{1}{\alpha+1}$ をかける、 と覚えることを勧める。 少なくとも結果を目で微分して元に戻ることをこころがけよう。 また次も忘れずに。

$$\heartsuit' \dsp\int (x+a)^{\alpha}\;\D x =\frac{1}{\alpha+1}(x+a)^{\alpha+1}.$$

最初の (1), (2) は (☆) タイプ。

(1)

$\sin y$ の原始関数は $-\cos y$ であるが、 $\dsp\int_0^{\pi/2}\sin y\;\D y=1$ は覚えても良いかもしれない。

(2)

これは基礎数学3で学んだ

$$\int \frac{\D x}{x^2+1}=\tan^{-1}x$$

を用いる。この式自身を暗記してもよいし、 $x=\tan\theta$ と置換すること¹を覚えても良い。

逆三角関数 $\tan^{-1}$ の値を求めるには、次が基本である (これから $\tan^{-1}1=\dfrac{\pi}{4}$ が分かる)。

$$y=\tan^{-1}x\quad\LongIff\quad x=\tan y$$   かつ$$\quad -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}.$$

(3)

$(y-x)^2=y^2-2x y+x^2$ と変形して積分するのも案外簡単である ((☆) タイプになる)。

$$\int_0^2(y-x)^2\;\Dy=\int_0^2(y^2-2xy+x^2)\D y=\cdots=2x^2-4x+\frac{8}{3}.$$

一方、( $\heartsuit'$) を用いると、

$$\int_0^2(y-x)^2\;\D y=\left[\frac{1}{3}(y-x)^3\right]_{y=0}^{y=2} =\frac{1}{3}\left[(2-x)^3-(-x)^3\right] =\frac{1}{3}\left(x^3-(x-2)^3\right).$$

これを $x=0$ から $x=2$ まで積分するのにも、同様のことをすればよい。

(4)

$\sqrt{x+y}=(x+y)^{1/2}$ に気が付けば、後は ( $\heartsuit'$) 2回。

$$\dint_{[0,1]\times[0,2]}\sqrt{x+y\,}\;\D x\,\D y =\int_0^1\left(\int_0^1(y+x)^{1/2}\;\Dy\right)\D x =\frac{2}{2}\left[(y+x)^{3/2}\right]_{y=0}^{y=2}\Dx$$

$$=\frac{2}{3}\int_0^1\left[(x+2)^{3/2}-x^{3/2}\right]\Dx =\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{5} \left[(x+2)^{5/2}-x^{5/2}\right]_0^1$$

$$=\frac{4}{15}\left(3^{5/2}-2^{5/2}-1\right) =\frac{4}{15}\left(9\sqrt{3}-4\sqrt{2}-1\right).$$

(5)

$\vert x\vert\le 1$ $\LongIff$ $-1\le x\le 1$ $\LongIff$ $x\in [-1,1]$ であるから、 $A=[-1,1]\times[-1,1]$. また $\dfrac{1}{x+y+4}=(y+x+4)^{-1}$ である。

(6)

これは $x$ と $y$ がまったく非対称なので、 先にどちらで積分するか問題になる。 見通しをつけるには、$x=1$ とおいた $y e^{-y^2}$ と、 $y=1$ とおいた $x e^{-x}$ とを見比べるとよい。 前者は置換積分、後者は部分積分と見通しがつく。 最後は計算を進めてみないと分からないが、 後者 (先に $x$ で積分する方) は後がかなり面倒な計算になる。 $-x y^2=u$ とおく ($y$ を $u$ で置換する) と、 $-2x y\,\D y=\D u$, $y=0$ のとき $u=0$, $y=1$ のとき $u=-x$ であるから、

$$\int_0^1 x y e^{-x y^2}\;\D y=\int_0^{-x} -\frac{1}{2}e^u \;\D u =-\frac{1}{2}\left[e^u\right]_0^{-x}=\frac{1}{2}(1-e^{-x}).$$

先に $x$ で積分すると、 $\dsp\int_0^1\left[-\frac{1}{y}(e^{y^2}+e^{-y^2})+ \frac{1}{y^3}\left(e^{y^2}-e^{-y^2}\right)\right]\Dy$ となり、 ちょっと困る。

(7)

どちらの変数で先に積分するか見極めるために、$x=1$, $y=1$ を代入すると、 それぞれ $y\sin y^2$, $x^2\sin x$ となる。 前者 ($y$ で先に積分する) の方が楽そうなので、 そちらから始めてみる。

$x y^2=u$ とおく ($y$ を $u$ で置換) と、 $2x y\,\D y=\D u$, $y=0$ のとき $u=0$, $y=2$ のとき $u=4x$ ゆえ、

$$\int_0^2 x^2 y\sin(x y^2)\,\D y= \int_0^{4x}x^2\sin u\cdot\frac{1... ...=\frac{x}{2}\int_0^{4x}\sin u\;\D u=\cdots =\frac{x}{2}\left(1-\cos 4x\right).$$

求める積分は、 $\dsp\int_0^{\pi/2}\frac{x}{2}\left(1-\cos 4x\right)\Dx$ となるが、 $\dsp\int_0^{\pi/2}\frac{x}{2}\;\Dx=\left[\frac{x^2}{4}\right]_0^{\pi/2} =\frac{\pi^2}{16}$,

$$\int_0^{\pi/2}x\cos 4x\;\Dx =\left[x\cdot\frac{1}{4}\sin 4x\right... ...}{4}\int_0^{\pi/2}\sin 4x\;\Dx =0+\frac{1}{16}\left[\cos 4x\right]_0^{\pi/2}=0$$

なので、値は $\dfrac{\pi^2}{16}$. ちなみに、もし先に $x$ で積分すると…ものすごく面倒になる。 (以上)