課題3

次の(1)〜(5)からいずれか1つ選んでレポートせよ。

(1)

計算が困難であると予想される定積分 (初等関数で表せない、 積分区間全体で被積分関数が滑らかではない) を自分で選び、数値積分で値を求める。 その値がどれくらいの精度か (誤差がどの程度か)、何らかの方法で確認すること。 なるべく複数の方法で計算すること。 分割を細かくすると精度がどのように変わるか調べること。

(2)

Euler のガンマ定数 $\gamma$ は、普通 $\dsp\gamma:=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n\right)$ で定義されるが、この式で $\gamma$ の値を計算するのは難しい。

$$\gamma=-\int_0^1\log\log\frac{1}{\;x\;}\;\D x$$ (1)

が成り立つことが知られている。 この右辺を DE 公式で数値積分することで $\gamma$ の近似値を求めよ。 被積分関数 $f(x)=-\log\log\frac{1}{x}$ がどういう関数か調べること。 結果を何らかの方法でチェックすること (誤差がどの程度か)。 もし出来れば、(1) がなぜ成り立つか調べること。

(3)

ガンマ関数 $\mathit{\Gamma}(x):=\dsp\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}\;\D t$ ($x>0$) を数値積分することにより計算するプログラムを作り、 どういう範囲の $x$ に対して、どの程度の精度が得られるか、調べよ。 被積分関数 $e^{-t}t^{x-1}$ がどのような関数か、 理解した上で取り組むこと。

     (注) よく知られている関数等式 $\mathit{\Gamma}(x) =(x-1)\mathit{\Gamma}(x-1)$ を利用すると、 どこか都合の良い幅 $1$ の区間に属する $x$ に対して数値積分で $\mathit{\Gamma}(x)$ を求めれば良いことになる。

(4)

$I=\dsp\int_a^b f(x)\;\Dx$ に対する数値積分公式では、 $f$ の値のみ用い、$f$ の導関数の値は使わないのが普通であるが、 $f'$ の値を使って良いならば、補正台形公式と呼ばれる

$$T_{N,\text{補}}:=T_N-\frac{h^2}{12}\left(f'(b)-f'(a)\right)$$

が利用できる。台形公式 $T_N$ と比べて、 $T_{N,\text{補}}$ では精度がどれくらい改善されるか、 適当な被積分関数を選んで実験して調べよ。 さらに次のどちらかを行うこと。

(a)

Euler-Maclaurin の定理 (7月5日の授業スライドで紹介してある) を参考にして、さらに高次の補正を試みる。

(b)

中点公式 $M_N$ で同様の補正をする。

(5)

講義で説明した関数 $f(x)=\dfrac{1}{1+25x^2}$ 以外の関数に対して、 Rungeの現象が起こるかどうか調べよ (本質的に違うものを複数選んで実験すること)。