0.0.0.1 A1

留数を用いて定積分を計算する方法の中で、 複素対数関数を利用するものがある。例えば

$$\int_0^\infty f(x)\;\Dx =-\sum_{c\in\mathbb{C}\setminus[0,\infty)} \Res(f(z)\log z;c).$$

ただし $\log$ は偏角の範囲を $(0,2\pi)$ に選んだ複素対数関数である ( $z\in\mathbb{C}\setminus[0,\infty)$ を $z=r e^{i\theta}$ ($r>0$, $\theta\in(0,2\pi)$) と極形式で表示した場合に、 $\log z=\log r+i\theta$)。$f$ についての仮定を書くのはさぼる (大体は桂田[1]の§1.2に書いてある)。 この公式がなぜ成り立つか根拠を説明し、 この公式を用いて

$$I=\int_0^\infty\frac{\Dx}{x^5+1}$$

を計算せよ。計算は意外と面倒なので、 Mathematica を積極的に利用することを勧める (例えば $z^5=-1$ の解を求めるなど)。