4.2.4 $ (0,\infty )$ 上の一重指数関数的に減衰する関数の数値積分

(工事中)

$ (a,b)=(0,\infty)$ であるが、$ f$ $ f(x)=f_1(x)e^{-x}$ ($ f_1(x)$ は減衰が代数的か、あるいは単に有界) のような場合は、

(31) $\displaystyle x=\varphi_4(t)=\exp\left(t-e^{-t}\right)$   ( $ t\in\mathbb{R}$)

で変数変換するのが良い。

$\displaystyle \lim_{t\to-\infty}\varphi_4(t)=0,\quad
\lim_{t\to \infty}\varphi_4(t)=\infty,\quad
\lim_{t\to\infty}\varphi_4'(t)=0.
$

$ t\to\pm\infty$ のとき、 $ \varphi_4'(t)$ は減衰しないが、 $ f(\varphi_4(t))\varphi_4'(t)$ は二重指数関数的に減衰する。

この場合は、$ I_{h,N}$ よりも

$\displaystyle I_{h,N_1,N_2}=h\sum_{n=-N_1}^{N_2}f\left(\varphi(nh)\right)\varphi'(nh)
$

を採用する方が良いことが多い。



桂田 祐史