A..1 基本的な考え方

差分法 (finite difference method, FDM) では、 次の2つの考え方を用いる。

• 微分方程式に含まれる導関数を差分商で置き換えた差分方程式の解を 近似解に採用する。
• 領域を格子に区切って、格子点上の値を求めることを目標にする。

常微分方程式の初期値問題に対する Euler 法, Runge-Kutta 法などを学んだことがあれば、理解しやすいであろう。

$$f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+O(h) h\to 0 .$$ (A.1)

$$f'(x)=\frac{f(x)-f(x-h)}{h}+O(h) h\to 0 .$$ (A.2)

$$f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+O(h^2) h\to 0 .$$ (A.3)

$$f''(x)=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}+O(h^2) h\to 0 .$$ (A.4)

$$f'''(x)=\frac{f(x+2h)-2f(x+h)+2f(x-h)-f(x-2h)}{2h^3} +O(h^2) h\to 0 .$$ (A.5)

$$f''''(x)=\frac{f(x+2h)-4f(x+h)+6f(x,y)-4f(x-h)+f(x-2h)}{h^4}+O(h^2) h\to 0 .$$ (A.6)

多変数関数の偏導関数はこれらを適当に組み合わせて近似する。 例えば

$$\Laplacian u(x,y) =\frac{u(x+h_x,y)-2u(x,y)+u(x-h_x,y)}{h_x^2} +\frac{u(x,y+h_y)-2u(x,y)+u(x,y-h_y)}{h_y^2} +O(h_x^2+h_y^2).$$