5.1.1 基本解とは

$3$ 次元の場合 $E(\bm{x})=\dfrac{1}{4\pi}\dfrac{1}{\left\vert\bm{x}\right\vert}$ , $2$ 次元の場合 $E(\bm{x})=-\dfrac{1}{2\pi}\log\left\vert\bm{x}\right\vert$ を $-\Laplacian$ の基本解 (the fundamental solutionn) と呼ぶ。

$E$ は原点以外では調和関数であることは簡単な計算で分かる:

$$\Laplacian E(x)=0$$   ( $x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ )$$.$$

さらに、超関数の言葉で言うと (原点まで込めて)

$$-\Laplacian E=\delta$$ (5.1)

が成り立つ。ここで $\delta$ は Dirac のデルタ関数である。

物理的な解釈: 原点に置かれた単位点電荷の作る電場のポテンシャルが $E(x)$ である。