1 はじめに

Laplace 方程式 $\Laplacian u=0$ の境界値問題をポテンシャル問題という。 正則関数の実部・虚部は調和関数 (ラプラス方程式の解) であるため、 関数論のあちこちの重要な場面でポテンシャル問題が登場する。 例えば関数論で重要な定理の一つである Riemannの写像定理に現れる 等角写像を求めるためにも、ポテンシャル問題が現れる。

(2次元渦無し非圧縮流の速度ポテンシャル $\phi$ は、 Laplace 方程式のNeumann境界値問題

$$\Laplacian\phi=0$$   in $\varOmega$ $$,\quad \frac{\rd\phi}{\rd n}=\bm{v}\cdot\bm{n}$$   on $\rd\varOmega$

の解である、ということを既に紹介したが、 そのような応用上の問題に止まらない、ということを認識してもらいたい。)

ここでは少し一般化した Poisson 方程式の境界値問題

$$-\Laplacian u=f \varOmega ,$$ (1.1)

$$u=g_1 \varGamma_1 ,$$ (1.2)

$$\frac{\rd u}{\rd n}=g_2 \varGamma_2$$ (1.3)

を考える。ここで $\varOmega$ は平面内の領域で、 $\varGamma_1$ と $\varGamma_2$ はその境界 $\rd\varOmega$ を分解したもの である( $\rd\Omega=\varGamma_1\cup\varGamma_2$ , $\varGamma_1\cap\varGamma_2 =\emptyset$ が成り立つ)。$\bm{n}$ は $\varGamma_2$ 上の点における、 $\varOmega$ の外向き単位法線ベクトルである。 $f$ , $g_1$ , $g_2$ は与えられた関数である。

実は、この問題は非常に筋の良い問題であり、 様々な数値計算法が適用出来る。 ここでは、(1) 差分法, (2) 有限要素法, (3) 基本解の方法を紹介する。

差分法、有限要素法は、偏微分方程式に対する数値解法の、 二大スタンダードと言えるもので、 そういう有名な方法を紹介出来るのは有意義と考えられる。 基本解の方法は、微分作用素の簡単な基本解が分かっているという、 Laplace 方程式の特徴を最大限に生かす方法で、 Laplace方程式の解法としては特に優れていると言える。