3.2.3 渦糸

(上の $f$ の $m$ を純虚数に変えてみる。)

$\kappa\in\mathbb{R}$ , $f(z)=i\kappa\log z$ ( $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ ) の場合。 $z=re^{i\theta}=x+iy$ とすると、

$$u(x,y)-iv(x,y)=f'(z)=\frac{i\kappa}{z} =\frac{i\kappa}{r}e^{-i\t... ...heta-i\sin\theta\right) =\frac{\kappa}{r}\left(\sin\theta+i\cos\theta\right).$$

すなわち

$$\bm{v}=\begin{pmatrix}u v\end{pmatrix} =\frac{\kappa}{r} \begin{pmatrix}\sin\theta\\ -\cos\theta \end{pmatrix}.$$

( $\begin{pmatrix} \cos\theta\\ -\sin\theta \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \... ...pi}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta\\ \sin\theta \end{pmatrix}$ であるから、 $\bm{v}$ の方向は、 $\begin{pmatrix}x y \end{pmatrix}$ を $-\pi/2$ 回転した方向である。 「応用複素関数」なんだから、行列でなくて、 $\sin\theta+i\left(-\cos\theta\right)=-i\left(\cos\theta+i\sin\theta \right)$ と説明すべきか？)

速度ポテンシャルと流れ関数は、 $f\left(r e^{i\theta}\right)=i\kappa \left(\log r+i\left(\theta+2n\pi \right)\right)$ ( $n\in\mathbb{Z}$ ) より

$$\left\{ \begin{array}{ll} \phi=-\kappa\left(\theta+2n\pi\right)\quad\text{($n\in\mathbb{Z}$)}\\ \psi=\kappa\log r. \end{array} \right.$$

流線は原点を中心とする円で、 等ポテンシャル線は原点を端点とする半直線である。

図 3: 渦糸 ($\kappa >0$ の場合は時計回り)

原点に置かれた渦糸 (渦点) の流れと呼ばれる。 渦度は $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 全体で 0 であることに注意しよう。