3.1 用語と基本的な性質のおさらい

流体の2次元の流れを考える。速度場を

$$\bm{v}(x,y)=\begin{pmatrix} u(x,y) v(x,y) \end{pmatrix}$$

とする。

$$\Div\bm{v}:=u_x+v_y$$

で定義される $\Div\bm{v}$ ( $\nabla\cdot\bm{v}$ とも書く) を発散と呼び、 いたるところ

$$\Div\bm{v}=0$$

であるとき、流れは非圧縮であるという。

$$\omega:=\left\vert\begin{matrix}\frac{\rd}{\rd x} & u\\ \frac{\r... ...t\vert=v_x-u_y \quad\text{(これも $\rot\bm{v}$ と書くことがある)}$$

で定義される $\omega$ を渦度と呼び、いたるところ

$$\omega=0$$

であるとき、流れは渦なしであるという。

• 渦なしならば速度ポテンシャル $\phi$ が存在: $\exists \phi$ s.t. $\grad\phi= \begin{pmatrix} \phi_x \phi_y \end{pmatrix}= \bm{v}$ . (ただし $\phi$ は、一般には多価関数である。 単連結領域の場合は一価関数である。)

  $\Laplacian\phi=\Div\bm{v}$ であるので、 流れが非圧縮ならば $\Laplacian\phi=0$ .

  一価関数である場合、 例えば領域の境界 $\rd\Omega$ 上で $\bm{v}$ が得られれば、

  $$\Laplacian\phi=0 \Omega ,\quad \frac{\rd\phi}{\rd\bm{n}}=\bm{v}\cdot\bm{n} \rd\Omega .$$

  
  
  これはLaplace方程式の境界値問題として、解くことが出来る。
• 非圧縮ならば流れ関数 $\psi$ が存在: $\exists \psi$ s.t. $\begin{pmatrix} \psi_y -\psi_x\end{pmatrix}=\bm{v}$ . (ただし $\psi$ は、一般には多価関数である。 単連結領域の場合は一価関数である。)

  $\Laplacian\psi=-\omega$ であるので、 流れが渦なしならば $\Laplacian\psi=0$ .

  一価関数である場合、領域の境界上の $\bm{v}$ が得られれば、 やはり $\psi$ はLaplace方程式の境界値問題 (どんな？これは各自の練習問題) の解として得られる。

• $\phi$ , $\psi$ のいずれかが求まれば、 微分するだけで速度 $\bm{v}$ が求まる (流れが分かったことになる)。
• 渦なし非圧縮流に対して、 複素速度ポテンシャル $f:=\phi+i\psi$ は正則関数で、$f'=u-i v$ . (逆に任意の正則関数は、ある渦なし非圧縮流の複素速度ポテンシャルである。)
• 曲線で、その接線ベクトルが速度ベクトル $\bm{v}$ と方向が同じものを 流線と呼ぶ。 定常流の場合、流線は流体の粒子の軌跡と一致する。 流れ関数 $\psi$ の等高線 ( $\psi=$定数 ) は流線を表す。
• $\phi=$定数 で表される曲線を等ポテンシャル線と呼ぶ。
• 渦なし非圧縮流では、流線と等ポテンシャル線は互いに直交する (正則関数の実部・虚部の等高線は互いに直交する)。