2.1 おさらい

流体の2次元の流れを考える。速度場を

$$\bm{v}=\begin{pmatrix} u v \end{pmatrix}$$

とするとき、

$$\omega:=v_x-u_y$$

で定義される $\omega$ を渦度と呼び、いたるところ $\omega=0$ であるとき、 流れは渦なしという。

非圧縮条件

$$\Div\bm{v}=0$$

が成り立つとき、流れは非圧縮であるという。

• 渦なしならば速度ポテンシャルが存在: $\exists \phi$ s.t. $\grad\phi= \begin{pmatrix} \phi_x \phi_y \end{pmatrix}= \bm{v}$ . さらに非圧縮ならば $\Laplacian\phi=0$ .

  例えば領域の境界で $\bm{v}$ が分かれば、

  $$\Laplacian\phi=0 \Omega$$

  $$\frac{\rd\phi}{\rd\bm{n}}=\bm{v}\cdot\bm{n} \rd\Omega$$

  
  

• 非圧縮ならば流れ関数が存在: $\exists \psi$ s.t. $\begin{pmatrix} \psi_y -\psi_x\end{pmatrix}=\bm{v}$ . さらに渦なしならば $\Laplacian\psi=0$ .
• 渦なし非圧縮ならば $f:=\phi+i\psi$ は正則関数で、$f'=u-i v$ .
• 曲線で、その接線ベクトルが速度ベクトルと方向が同じものを流線と呼ぶ。 定常流の場合、流線は粒子の軌跡と一致する。 $\psi=$定数 は流線を表す。
• $\phi=$定数 で表される曲線を等ポテンシャル線と呼ぶ。
• 渦なし非圧縮流では、流線と等ポテンシャル線は互いに直交する。