2.3.1 微分方程式と初期条件

質点の質量は $ m$ とする。 質点の位置は ($ y$成分は考えないことにして) $ x$, $ z$ 座標で定まる。 そこで

$\displaystyle \bm{x}
=\begin{pmatrix}
x  z
\end{pmatrix}$

とおく。

質点に働く力は、重力と空気抵抗のみとする。

重力は $ m\bm{g}$ ( $ \bm{g}=\begin{pmatrix}0  -g \end{pmatrix}$).

空気抵抗は速さに比例した大きさで、速度と逆向きと仮定すると、 $ -\gamma\dfrac{\D\bm{x}}{\D t}$ ($ \gamma$ は正の定数) とおける。

運動方程式は

(1) $\displaystyle m\frac{\D^2\bm{x}}{\D t^2} =m\bm{g}-\gamma\dfrac{\D\bm{x}}{\D t}.$

初期条件は、秒速 $ 50\;\mathrm{m}$ で、仰角$ 50^\circ$ で投げる。

(2) $\displaystyle x(0)=0,\quad z(0)=0,\quad \frac{\D x}{\D t}(0)=50\cos 50^\circ,\quad \frac{\D z}{\D t}(0)=50\sin 50^\circ$

とする。

$\displaystyle X_1=x,\quad X_2=z,\quad X_3=\frac{\D x}{\D t},\quad X_4=\frac{\D z}{\D t},
\quad
\bm{X}=\begin{pmatrix}X_1  X_2  X_3  X_4\end{pmatrix}$

とおくと、

$\displaystyle \frac{\D\bm{X}}{\D t}
=\begin{pmatrix}
\dfrac{\D X_1}{\D t}  ...
...x}
X_3 \\
X_4 \\
-\gamma X_3 \\
-g-\frac{\gamma}{m} X_4
\end{pmatrix}.
$

そこで

(3) $\displaystyle \bm{f}(t,\bm{X}) :=\begin{pmatrix}X_3  X_4  -\gamma X_3  -g-\frac{\gamma}{m} X_4 \end{pmatrix}$

とおくと、

(4) $\displaystyle \dfrac{\D\bm{X}}{\D t}=\bm{f}(t,\bm{X}).$

(5) $\displaystyle \bm{X}(0) =\begin{pmatrix}0  0  50\cos 50^\circ  50\sin50^\circ \end{pmatrix}.$



桂田 祐史