2.3.1 微分方程式と初期条件

質点の質量は $m$ とする。 質点の位置は ($y$成分は考えないことにして) $x$, $z$ 座標で定まる。 そこで

$$\bm{x} =\begin{pmatrix} x z \end{pmatrix}$$

とおく。

質点に働く力は、重力と空気抵抗のみとする。

重力は $m\bm{g}$ ( $\bm{g}=\begin{pmatrix}0 -g \end{pmatrix}$).

空気抵抗は速さに比例した大きさで、速度と逆向きと仮定すると、 $-\gamma\dfrac{\D\bm{x}}{\D t}$ ($\gamma$ は正の定数) とおける。

運動方程式は

$$m\frac{\D^2\bm{x}}{\D t^2} =m\bm{g}-\gamma\dfrac{\D\bm{x}}{\D t}.$$ (1)

初期条件は、秒速 $50\;\mathrm{m}$ で、仰角$50^\circ$ で投げる。

$$x(0)=0,\quad z(0)=0,\quad \frac{\D x}{\D t}(0)=50\cos 50^\circ,\quad \frac{\D z}{\D t}(0)=50\sin 50^\circ$$ (2)

とする。

$$X_1=x,\quad X_2=z,\quad X_3=\frac{\D x}{\D t},\quad X_4=\frac{\D z}{\D t}, \quad \bm{X}=\begin{pmatrix}X_1 X_2 X_3 X_4\end{pmatrix}$$

とおくと、

$$\frac{\D\bm{X}}{\D t} =\begin{pmatrix} \dfrac{\D X_1}{\D t} ... ...x} X_3 \\ X_4 \\ -\gamma X_3 \\ -g-\frac{\gamma}{m} X_4 \end{pmatrix}.$$

そこで

$$\bm{f}(t,\bm{X}) :=\begin{pmatrix}X_3 X_4 -\gamma X_3 -g-\frac{\gamma}{m} X_4 \end{pmatrix}$$ (3)

とおくと、

$$\dfrac{\D\bm{X}}{\D t}=\bm{f}(t,\bm{X}).$$ (4)

$$\bm{X}(0) =\begin{pmatrix}0 0 50\cos 50^\circ 50\sin50^\circ \end{pmatrix}.$$ (5)