3.4.1 エネルギーの定義

波動方程式の解、$u$の時刻 $t$におけるエネルギー$E(t)$は 次のように定義される。

$$E(t)=\frac{1}{2}\int_0^1\left(\dsp\frac{\rd u}{\rd t}\right)^2+ \left(\dsp\frac{\rd u}{\rd x}\right)^2\,dx\qquad ...(※)$$

そこで、離散化された問題の解 $\left(\begin{array}{c}v_{i,j} \\ w_{i,j}\end{array}\right)$ で時刻$j\tau$におけるエネルギー$E_{j}$を考察する。
まず、

$$\int_0^1f(x)\,dx$$ (3.9)

を、今まで使っていた $h$、 $x_{i}$を用いて近似してみる。
($9$)の式は、$x=0$、$x=1$、$y=f(x)$及び、$x$軸で囲まれた面積である。 それなので、図１の様に面積を区切る。すると、求める面積は上底が$f(x_{i})$、 下底が $f(x_{i+1})$、高さ$h$の台形の面積の和で近似できる( $0\le i\le N-1$)。 この近似は$N$が大きいほど誤差は少なくなる。

図 3.1: 面積の区切り方

よって、

$$\int_0^1f(x)\,dx ≒ \frac{f(x_{0})+f(x_{1})}{2}h+ \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}h$$

$$+ \dots+\frac{f(x_{N-2})+f(x_{N-1})}{2}h +\frac{f(x_{N-1})+f(x_{N})}{2}h$$

$$= \left(\frac{1}{2}(f(x_{0})+f(x_{N}))+ \sum_{i=1}^{N-1}f(x_{i})\right)h$$

と近似できる。だから(※)は、

$$E_{j} = \frac{h}{2}\left(\frac{1}{2}(v_{0,j}^2 + v_{N,j}^2) +\sum_{i=1}^{N-1}v_{i,j}^2 +\frac{1}{2}(w_{0,j}^2 + w_{N,j}^2)+\sum_{i=1}^{N-1}w_{i,j}^2\right)$$

$$= \frac{h}{2}\left( \frac{1}{2}(v_{0,j}^2+v_{N,j}^2+w_{0,j}^2+w_{N,j}^2) +\sum_{i=1}^{N-1}(v_{i,j}^2+w_{i,j}^2) \right)$$

と近似できる。