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2.3.3 $ \sin n\pi x$ が $ (\delta _x)^2$ の固有関数であること

$ x$ についての差分に関して、 固有関数が $ \sin n\pi x$ ($ n\in\N$) である。実際

  $\displaystyle (\delta_x)^2 \sin n\pi x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin n\pi(x+h)-2\sin n\pi x+\sin n\pi (x-h)$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin n\pi x\cos n\pi h-2\sin n\pi x$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin n\pi x(\cos n\pi h-1)$
    $\displaystyle =$ $\displaystyle -4\sin n\pi x\sin^2\frac{n\pi h}{2}.$

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Masashi Katsurada
平成14年11月29日