2.1.1 熱方程式の場合

Fourier 解析で、次の二つのことを学んだ。

• 周期 $2\pi$ の任意の (適度に滑らかな) 関数 $f$ は $\{e^{inx} \}_{n\in\Z}$ で表現できる:
  $$f(x)=\sum_{n\in\Z} f_n e^{inx}\Dx,\quad f_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-i nx}\,\Dx.$$

• 任意の $f\in L^2(\R)$ は $e^{i\alpha x}$ ( $\alpha\in\R$) で表現できる:
  $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R \widehat f(\alpha) e^{i\alpha x... ...uad \widehat f(\alpha) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R f(x) e^{-i\alpha x}\,\Dx.$$

$e^{i nx}$ や $e^{i\alpha x}$ は $\rd^2/\rd x^2$ の固有関数であること もあって (つまり $(\rd/\rd x)^2 e^{i\alpha x}=-\alpha^2 e^{i\alpha x}$)、 例えば次のような応用がある。