3.1 Krawczyk の定理

$f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ を $C^1$ 級として、

$$f(x)=0$$

を満たす $x\in\mathbb{R}^n$ を求める。 $f'[x]$ を $x$ における微分、すなわちヤコビ行列とする:

$$f'[x]:=\left(\frac{\rd f_i}{\rd x_j}(x)\right).$$

$X\in\mathbb{IR}^n$ に対して、

$$f'[X]:=$$ $\left\{f'[\hat x]\relmiddle\vert \hat x\in X\right\}$ の区間包囲

とおく。 $f'[X]\in\mathbb{IR}^n$ である。

要約

Newton-Algorithms for Evaluation of Roots with Error Bounds. In this paper some definitions and properties of interval-norms and spans are treated. Then several NEw oN-Mgorithms for finding roots of functions with one variable are given. The algorithms use interval-arithmetics and yield an interval-result containing the exac  root. The algorithms then are generalized to solve systems of equations.

中尾・渡部 [4] では、 証明は中尾・山本 [4] を見るように、とのこと。