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4.6.4 4段4次

以下は Kutta (1901) の研究だそうである (一松 [10] からの孫引き)。

前提条件

$\displaystyle \beta_{11}=\beta_{12}=\beta_{13}=\beta_{14}=
\beta_{22}=\beta_{23}=\beta_{24}=
\beta_{33}=\beta_{34}=
\beta_{44}=0
$

のもとで、パラメーターを

$\displaystyle \beta_{21}=:\alpha,\quad
\beta_{32}=:\lambda,\quad
\beta_{31}+\be...
...{42}=:\nu,\quad
\beta_{43}=:\mu,\quad
\beta_{41}+\beta_{42}+\beta_{43}=:\gamma
$

とおくと、次の Kutta の条件式をえる。

$\displaystyle \left\{
\begin{array}{ll}
\mu_1+\mu_2+\mu_3+\mu_4=1,
&\alpha\mu_2...
...)\mu_4=\dfrac{1}{12},
&\alpha\lambda\mu\mu_4=\dfrac{1}{24}.
\end{array}\right.
$

この一般解も知られていて (自由度 $ 2$ が残る)、 そのうちすべての係数が $ \ge 0$ で、 $ 0<\alpha\le \beta\le \gamma\le 1$ である「単調な」公式は、 次の古典的 Runge-Kutta 公式 (Runge の原公式, 本来の Runge-Kutta 公式) しかない。

本来の Runge-Kutta 公式
Kutta のパラメーターで、

$\displaystyle \alpha=\lambda=\beta=\dfrac{1}{2},\quad
\nu=0,\quad \mu=1,\quad \gamma=1,
$

すなわち Stetter の行列表現で

$\displaystyle \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
\dfrac{1}{2} & 0 & 0...
...
\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6}
\end{array}\right),
$

スキームで
  $\displaystyle k_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle h f(t_i,x_j),$
  $\displaystyle k_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle h f(t_i+h/2,x_j+k_1/2),$
  $\displaystyle k_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle h f(t_i+h/2,x_j+k_2/2),$
  $\displaystyle k_4$ $\displaystyle =$ $\displaystyle h f(t_i+h,x_j+k_3),$
  $\displaystyle x_{j+1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_j+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4).$


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Masashi Katsurada
平成23年4月29日