4.6.4 4段4次

以下は Kutta (1901) の研究だそうである (一松 [10] からの孫引き)。

前提条件

$$\beta_{11}=\beta_{12}=\beta_{13}=\beta_{14}= \beta_{22}=\beta_{23}=\beta_{24}= \beta_{33}=\beta_{34}= \beta_{44}=0$$

のもとで、パラメーターを

$$\beta_{21}=:\alpha,\quad \beta_{32}=:\lambda,\quad \beta_{31}+\be... ...{42}=:\nu,\quad \beta_{43}=:\mu,\quad \beta_{41}+\beta_{42}+\beta_{43}=:\gamma$$

とおくと、次の Kutta の条件式をえる。

$$\left\{ \begin{array}{ll} \mu_1+\mu_2+\mu_3+\mu_4=1, &\alpha\mu_2... ...)\mu_4=\dfrac{1}{12}, &\alpha\lambda\mu\mu_4=\dfrac{1}{24}. \end{array}\right.$$

この一般解も知られていて (自由度 $2$ が残る)、 そのうちすべての係数が $\ge 0$ で、 $0<\alpha\le \beta\le \gamma\le 1$ である「単調な」公式は、 次の古典的 Runge-Kutta 公式 (Runge の原公式, 本来の Runge-Kutta 公式) しかない。

本来の Runge-Kutta 公式

Kutta のパラメーターで、

$$\alpha=\lambda=\beta=\dfrac{1}{2},\quad \nu=0,\quad \mu=1,\quad \gamma=1,$$

すなわち Stetter の行列表現で

$$\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ \dfrac{1}{2} & 0 & 0... ... \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} \end{array}\right),$$

スキームで

$$k_1 = h f(t_i,x_j),$$

$$k_2 = h f(t_i+h/2,x_j+k_1/2),$$

$$k_3 = h f(t_i+h/2,x_j+k_2/2),$$

$$k_4 = h f(t_i+h,x_j+k_3),$$

$$x_{j+1} = x_j+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4).$$