4.6.2 2段2次

$s=2$, $q=2$ の公式は Heun 法と総称される。

$$\beta_{11}=\beta_{12}=\beta_{22}=0,\quad \mu_1+\mu_2=1,\quad \beta_{21}\mu_2=\frac{1}{2}$$

となる。 $\beta_{21}=:\beta$ とおくと、

$$\mu_1=1-\frac{1}{2\beta},\quad \mu_2=\frac{1}{2\beta}$$

となり、

$$k_1=h f(t_i,x_j),\quad k_2=f\left(t_i+\beta h,x_j+\beta k_1\right) ,\quad x_{j+1}=x_j+\left(1-\frac{1}{2\beta}\right)k_1 +\frac{1}{2\beta}k_2.$$

特に $\beta=\dfrac{1}{2}$ のとき、

$$k_2=h f\left(t_i+\dfrac{h}{2},x_j+\dfrac{k_1}{2}\right),\quad x_{j+1}=x_j+k_2$$   (中点公式, 全体を改良 Euler 法)$$.$$

また $\beta=1$ のとき、

$$k_2=h f(t_i+h,x_j+k_1),\quad x_{j+1}=x_j+\frac{1}{2}(k_1+k_2)$$   (台形公式, 全体を修正 Euler 法)$$.$$