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4.6.2 2段2次

$ s=2$, $ q=2$ の公式は Heun 法と総称される。

$\displaystyle \beta_{11}=\beta_{12}=\beta_{22}=0,\quad
\mu_1+\mu_2=1,\quad \beta_{21}\mu_2=\frac{1}{2}
$

となる。 $ \beta_{21}=:\beta$ とおくと、

$\displaystyle \mu_1=1-\frac{1}{2\beta},\quad
\mu_2=\frac{1}{2\beta}
$

となり、

$\displaystyle k_1=h f(t_i,x_j),\quad
k_2=f\left(t_i+\beta h,x_j+\beta k_1\right) ,\quad
x_{j+1}=x_j+\left(1-\frac{1}{2\beta}\right)k_1
+\frac{1}{2\beta}k_2.
$

特に $ \beta=\dfrac{1}{2}$ のとき、

$\displaystyle k_2=h f\left(t_i+\dfrac{h}{2},x_j+\dfrac{k_1}{2}\right),\quad
x_{j+1}=x_j+k_2$   (中点公式, 全体を改良 Euler 法)$\displaystyle .
$

また $ \beta=1$ のとき、

$\displaystyle k_2=h f(t_i+h,x_j+k_1),\quad
x_{j+1}=x_j+\frac{1}{2}(k_1+k_2)$   (台形公式, 全体を修正 Euler 法)$\displaystyle .
$


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Masashi Katsurada
平成23年4月29日