1 序

この文書では、 $1$ 階正規形の常微分方程式の初期値問題に対する数値解法を扱う。すなわち

$$\frac{d x}{d t} = f(t,x) \mbox{($t\in I$)}$$ (1)

$$x(t_0) = x_0$$ (2)

を満たす $x=x(t)$ の近似解を求めることを考える。 ここで $I$ は $t_0\in \R$ を含む $\R$ の区間で、

$$\left\{ \begin{array}{l} f:\R^{n+1}\supset\Omega (\mbox{開集合})\to \R^n\quad\mbox{連続}, \\ (t_0,x_0)\in\Omega \end{array}\right.$$

は与えられているとする。

微分方程式の解は関数であり、 これは関数空間の要素としてとらえるのが (現代の数学では) 普通である。 (大抵の場合、関数空間は無限次元空間で、問題を難しくしている。)

微分方程式は解析的¹に解けないことが多い。たとえ解けても便利でないことがある²。

近似解法では、解の有限的な近似表現を求める。具体的には、

• 「有限次元の関数空間の要素で近似する」が基本。
• 特に連続変数を離散変数に置き換えて近似する離散変数法が有力。

残念ながら

常微分方程式の初期値問題に限っても万能の方法はない。

プロでない平均的ユーザーとしては、 実際的にはとりあえず Runge-Kutta 法を使い³、 不満があれば他の方法を考える、くらいで良いだろう。

この講義では、基礎概念を簡単に説明した後で、

1. 刻み幅の自動調節 (adaptive stepsize control)
2. 硬い方程式 (stiff problem)

などの話題を紹介する。 詳しいことを知りたい場合は、まず三井 [1] を見るとよい。

最近 (2004年2月)、面白い本が出版された。 三井・小藤・齊藤 [13] である。 第2章「ハミルトン系の解法」, 第3章「遅延微分方程式の解法」, 第2章「確率微分方程式の解法」と章の名前を見れば一目瞭然、 現在盛んに研究されている分野への入門ができる (ヒットだと思う)。