3 最初の例: 連立1次方程式、逆行列、固有値&固有ベクトル

$\displaystyle A=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2 2 & 3
\end{array} \right),
\quad
x=\left(
\begin{array}{c}
1  -1
\end{array} \right)
$

に対して、 $ b=A x$ を計算してから、 $ A^{-1} b$ を計算し (もちろん $ x$ と等しくなるはず)、 $ A^{-1}$ を計算して、$ A^{-1}A=I$ を確かめ、 最後に $ A$ の固有値 $ \lambda_1$ , $ \lambda_2$ と、 \begin{displaymath}P^{-1}A P=
\left(
\begin{array}{cc}
\lambda_1 & 0\\
0 & \lambda_2
\end{array}\right)\end{displaymath} となる $ P$ を求める。

MATLAB のコマンド・メモ (1)
$ A=\begin{pmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{pmatrix}$ a=[1,2;3,4]     または     
a=[1,2  
    3,4]  
$ A^{-1} b$ を計算する a\b
$ A^{-1}$ を計算する inv(a)
$ A$ の固有値を計算する eig(a)
$ A$ の固有値と固有ベクトルを計算する [p lambda]=eig(a)
  p は固有ベクトルを並べた行列


>> a=[1,2;2,3]

a =

     1     2
     2     3

>> x=[1;-1]

x =

     1
    -1

>> b=a*x

b =

    -1
    -1

>> a\b

ans =

    1.0000
   -1.0000

>> inv(a)

ans =

   -3.0000    2.0000
    2.0000   -1.0000

>> inv(a)*a

ans =

     1     0
     0     1

>> eig(a)

ans =

   -0.2361
    4.2361

>> [p lambda]=eig(a)

p =

   -0.8507    0.5257
    0.5257    0.8507


lambda =

   -0.2361         0
         0    4.2361

>> inv(p)*a*p

ans =

   -0.2361   -0.0000
   -0.0000    4.2361

>> 

最後の $ P^{-1}A P$ の計算は、丸め誤差の影響で、完全な対角行列にはなっ ていない (が、誤差は $ 10^{-16}$ のオーダーで十分小さい)。

桂田 祐史
2017-06-19