3 最初の例: 連立1次方程式、逆行列、固有値＆固有ベクトル

$$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 2 & 3 \end{array} \right), \quad x=\left( \begin{array}{c} 1 -1 \end{array} \right)$$

に対して、 $b=A x$ を計算してから、 $A^{-1} b$ を計算し (もちろん $x$ と等しくなるはず)、 $A^{-1}$ を計算して、$A^{-1}A=I$ を確かめ、 最後に $A$ の固有値 $\lambda_1$ , $\lambda_2$ と、 $$P^{-1}A P= \left( \begin{array}{cc} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{array}\right)$$ となる $P$ を求める。

MATLAB のコマンド・メモ (1)

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

a=[1,2;3,4]     または     

a=[1,2
3,4]

$A^{-1} b$ を計算する

a\b

$A^{-1}$ を計算する

inv(a)

$A$ の固有値を計算する

eig(a)

$A$ の固有値と固有ベクトルを計算する

[p lambda]=eig(a)

p は固有ベクトルを並べた行列

>> a=[1,2;2,3]

a =

     1     2
     2     3

>> x=[1;-1]

x =

     1
    -1

>> b=a*x

b =

    -1
    -1

>> a\b

ans =

    1.0000
   -1.0000

>> inv(a)

ans =

   -3.0000    2.0000
    2.0000   -1.0000

>> inv(a)*a

ans =

     1     0
     0     1

>> eig(a)

ans =

   -0.2361
    4.2361

>> [p lambda]=eig(a)

p =

   -0.8507    0.5257
    0.5257    0.8507


lambda =

   -0.2361         0
         0    4.2361

>> inv(p)*a*p

ans =

   -0.2361   -0.0000
   -0.0000    4.2361

>> 

最後の $P^{-1}A P$ の計算は、丸め誤差の影響で、完全な対角行列にはなっ ていない (が、誤差は $10^{-16}$ のオーダーで十分小さい)。