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一般の初期条件

$ x_0$$ f$ の定義域に含まれる任意の点とするとき、

$\displaystyle u''+p u'+q u=f(x),\quad
u(x_0)=u'(x_0)=0
$

を考える。

$\displaystyle U(x):=u(x+x_0),\quad F(x):=f(x+x_0)
$

とおくと

$\displaystyle U''+p U'+q U=F,\quad
U(0)=U'(0)=0
$

となる。既に得られている定理3.1から、

$\displaystyle U(x)=\int_0^x G(x-y)F(y)\;\D y.
$

これから $ u$ を求めよう。まず

$\displaystyle u(x)=U(x-x_0)=\int_0^{x-x_0}G\left((x-x_0)-y\right)F(y)\Dy.
$

$ \xi=y+x_0$ とおくと、 $ \D\xi=\D y$, $ y=0$ のとき $ \xi=x_0$, $ y=x-x_0$ のとき $ \xi=x$, $ (x-x_0)-y=x-x_0-(\xi-x_0)=x-\xi$, $ y=\xi-x_0$ であるから、

$\displaystyle u(x)=\int_{x_0}^{x}G(x-\xi)F(\xi-x_0)\D\xi
=\int_{x_0}^{x}G(x-\xi)f(\xi)\D\xi
=\int_{x_0}^x G(x-y)f(y)\;\D y.
$

任意の $ x_0\in \R$ を固定したとき、

$\displaystyle (f\ast g)(x):=\int_{x_0}^x f(x-y)g(y)\;\D y
$

で「ずれた畳み込み」を定義するとき、

$\displaystyle (f\ast g)\ast h=f\ast(g\ast h)
$

が成り立つのだろうか。


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Masashi Katsurada
平成21年10月4日